360. а) В треугольнике АВС проведена медиана ВМ и высота ВК. Найдите КС, если АВ = ВМ и АС = 68. (6) В треугольнике АВС проведена медиана ВМ и высота ВК. Найдите АС, если АВ = ВМ и КС = 42. в) В треугольнике АВС проведена медиана ВМ и высота ВК. Найдите КС, если АВ = ВМ и АС = 76. г) В треугольнике АВС проведена медиана ВМ и высота ВК. Найдите АС, если АВ = ВМ KC = 57.

Задача 360

Привет! Смотри, какая интересная задача по геометрии. Разберем её по частям.

а)

Тут логика такая: Если AB = BM, то треугольник ABM – равнобедренный. Так как ВМ – медиана, то AM = MC, и AC = 2AM. Поскольку AB = BM = MC = AM, то AC = 2AB.

• Если AC = 68, то AB = AC / 2 = 68 / 2 = 34.
• Так как BK – высота, то треугольник ABK – прямоугольный. Но нам это не пригодится.
• Рассмотрим треугольник ABC, где BM – медиана и BM = AB. Значит, точка M – середина AC, и BM = MC.
• Отсюда KC = MC – MK = AB – MK. Но нам нужно найти KC, а MK мы не знаем.
• На самом деле, раз медиана равна половине стороны, к которой проведена, то угол ABC прямой! (Это свойство прямоугольного треугольника).
• Тогда по теореме Пифагора: AB² + BC² = AC².

Нам нужно найти KC. Обозначим AK = x, тогда KC = AC - x = 68 - x.

Из прямоугольного треугольника ABK: AB² = AK² + BK², или 34² = x² + BK².

Из прямоугольного треугольника CBK: BC² = BK² + KC², или BC² = BK² + (68 - x)².

Из прямоугольного треугольника ABC: AC² = AB² + BC², или 68² = 34² + BC², откуда BC² = 68² - 34² = (68 + 34)(68 - 34) = 102 * 34 = 3468.

Теперь у нас есть BC² = 3468 = BK² + (68 - x)², и AB² = 1156 = x² + BK².

Выразим BK² из второго уравнения: BK² = 1156 - x².

Подставим в первое уравнение: 3468 = 1156 - x² + (68 - x)².

Получаем: 3468 = 1156 - x² + 4624 - 136x + x².

Отсюда: 3468 = 5780 - 136x.

136x = 5780 - 3468 = 2312.

x = 2312 / 136 = 17.

Тогда KC = 68 - x = 68 - 17 = 51.

Ответ: КС = 51.

б)

Если КС = 42 и АВ = ВМ, то поскольку BM – медиана, AM = MC.

Тогда AC = AM + MC = 2MC. Также, если AB = BM = MC, то AC = 2AB.

Значит, AB = AC / 2, и MC = AB. Но MC = KC + KM, так что AB = KC + KM.

Пусть АВ = х, тогда AC = 2x. Значит, MC = x и AM = x. Также, AB = BM = x.

Тогда AC = AK + KC = AK + 42.

Поскольку AC = 2AB = 2x, то AK + 42 = 2x, значит AK = 2x - 42.

BK – высота, поэтому треугольники ABK и CBK – прямоугольные.

По теореме Пифагора для треугольника ABK: AB² = AK² + BK², или x² = (2x - 42)² + BK².

По теореме Пифагора для треугольника CBK: BC² = KC² + BK², или BC² = 42² + BK².

Для треугольника ABC: AC² = AB² + BC², или (2x)² = x² + BC².

Тогда 4x² = x² + 42² + BK², откуда 3x² = 42² + BK².

Из первого уравнения BK² = x² - (2x - 42)² = x² - (4x² - 168x + 1764) = -3x² + 168x - 1764.

Подставим BK² во второе уравнение: 3x² = 1764 + (-3x² + 168x - 1764), или 6x² = 168x.

Отсюда x = 168 / 6 = 28.

Тогда AC = 2x = 2 * 28 = 56.

Ответ: AC = 56.

в)

Если АВ = ВМ и АС = 76, то, как и в предыдущих случаях, АС = 2АВ, так как медиана равна половине гипотенузы.

Тогда АВ = АС / 2 = 76 / 2 = 38. Поскольку АВ = ВМ = МС, то МС = 38. Но КС = МС – МК.

Нам нужно найти КС. Так как треугольник ABC – прямоугольный (по свойству медианы), то АС² = АВ² + ВС².

Тогда ВС² = АС² - АВ² = 76² - 38² = (76 + 38)(76 - 38) = 114 * 38 = 4332.

Пусть АК = х, тогда КС = 76 - х.

Из прямоугольного треугольника АВК: АВ² = АК² + ВК², или 38² = х² + ВК².

Из прямоугольного треугольника СВК: ВС² = КС² + ВК², или 4332 = (76 - х)² + ВК².

Выразим ВК² из первого уравнения: ВК² = 38² - х² = 1444 - х².

Подставим во второе уравнение: 4332 = (76 - х)² + 1444 - х².

Получаем: 4332 = 5776 - 152х + х² + 1444 - х².

Тогда 4332 = 7220 - 152х.

152х = 7220 - 4332 = 2888.

х = 2888 / 152 = 19.

Значит, КС = 76 - х = 76 - 19 = 57.

Ответ: КС = 57.

г)

Если КС = 57 и АВ = ВМ, то нам нужно найти АС. Поскольку ВМ – медиана, то АМ = МС.

Если АВ = ВМ = МС, то АС = 2АВ. Обозначим АВ = х, тогда АС = 2х.

Поскольку КС = 57, то МС = 57 + МК. Но МС = х, значит х = 57 + МК. Нам не хватает данных, чтобы найти МК.

Однако, поскольку треугольник ABC – прямоугольный, то АС² = АВ² + ВС².

То есть (2х)² = х² + ВС². Отсюда 4х² = х² + ВС², и ВС² = 3х². То есть ВС = х * √3.

Давай обозначим АК = у. Тогда КС = 57. АС = АК + КС = у + 57. А мы знаем, что АС = 2х. Значит, 2х = у + 57, и у = 2х - 57.

Треугольник АВК – прямоугольный, поэтому АВ² = АК² + ВК². То есть х² = (2х - 57)² + ВК².

Треугольник СВК – прямоугольный, поэтому ВС² = КС² + ВК². То есть 3х² = 57² + ВК². Отсюда ВК² = 3х² - 57².

Подставим в первое уравнение: х² = (2х - 57)² + 3х² - 57².

Раскроем скобки: х² = 4х² - 228х + 3249 + 3х² - 3249.

Получаем: 0 = 6х² - 228х. Тогда 6х(х - 38) = 0.

Значит, либо х = 0, что невозможно, либо х = 38.

Тогда АС = 2х = 2 * 38 = 76.

Ответ: АС = 76.