А2. В треугольнике АВС точка К принадлежит стороне АВ, а точка Р– стороне АС. Отрезок КР|| ВС. Найдите периметр треугольника АКР, если АВ=9 см, ВС=12 см, АС=15 см и АК: КВ=2:1.

Рассмотрим треугольники АВС и АКР.

Угол А - общий, углы АКР и АВС равны как соответственные при параллельных прямых КР и ВС и секущей АВ. Следовательно, треугольники АВС и АКР подобны по двум углам.

Найдем коэффициент подобия. По условию, АК:КВ = 2:1, значит, АК составляет 2/3 от АВ. То есть,

$$AK = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6 \text{ см}$$

Коэффициент подобия:

$$k = \frac{AK}{AB} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

Так как периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия, то:

$$P_{AKP} = k \cdot P_{ABC}$$

Периметр треугольника АВС:

$$P_{ABC} = AB + BC + AC = 9 + 12 + 15 = 36 \text{ см}$$

Тогда периметр треугольника АКР:

$$P_{AKP} = \frac{2}{3} \cdot 36 = 24 \text{ см}$$

Ответ: 24 см