a) $$x^2 + 5x + 2\frac{1}{4} = 0$$

Решение

Давай решим данное квадратное уравнение по шагам. У нас есть уравнение:

\[x^2 + 5x + 2\frac{1}{4} = 0\]

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную:

\[2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}\]

Теперь уравнение выглядит так:

\[x^2 + 5x + \frac{9}{4} = 0\]

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 4:

\[4(x^2 + 5x + \frac{9}{4}) = 4 \cdot 0\] \[4x^2 + 20x + 9 = 0\]

Теперь у нас есть стандартное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 4\), \(b = 20\), и \(c = 9\). Решим его через дискриминант:

Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

Подставим значения:

\[D = 20^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 400 - 144 = 256\]

Так как \(D > 0\), у нас будет два различных вещественных корня. Найдем их по формулам:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения:

\[x_1 = \frac{-20 + \sqrt{256}}{2 \cdot 4} = \frac{-20 + 16}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}\] \[x_2 = \frac{-20 - \sqrt{256}}{2 \cdot 4} = \frac{-20 - 16}{8} = \frac{-36}{8} = -\frac{9}{2}\]

Ответ: \(x_1 = -\frac{1}{2}, x_2 = -\frac{9}{2}\)

Молодец! Ты отлично справился с решением квадратного уравнения. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!