22.31 a) x² + 1 = \frac{2}{x}; б) \frac{4}{x} - 5 = -x; 22.32 a) - √x + 4 = 3x²; б) |x| - 3 = -\frac{4}{x};

Давай решим эти уравнения по порядку! 22.31 a) x² + 1 = \(\frac{2}{x}\) 1. Умножим обе части уравнения на x, чтобы избавиться от дроби:\[x(x^2 + 1) = x(\frac{2}{x})\]\[x^3 + x = 2\]\[x^3 + x - 2 = 0\] 2. Заметим, что x = 1 является корнем этого уравнения:\[1^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0\] 3. Разделим многочлен \(x^3 + x - 2\) на \((x - 1)\) столбиком или с помощью схемы Горнера. В результате получим:\[x^2 + x + 2\] 4. Решим квадратное уравнение \(x^2 + x + 2 = 0\). Дискриминант равен:\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7\]Так как дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет действительных корней. 5. Таким образом, единственное действительное решение уравнения:\[x = 1\]

Ответ: x = 1

22.31 б) \(\frac{4}{x} - 5 = -x\) 1. Умножим обе части уравнения на x, чтобы избавиться от дроби:\[x(\frac{4}{x} - 5) = x(-x)\]\[4 - 5x = -x^2\]\[x^2 - 5x + 4 = 0\] 2. Решим квадратное уравнение \(x^2 - 5x + 4 = 0\). Дискриминант равен:\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\]\[x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4\]\[x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\] 3. Таким образом, решения уравнения:\[x_1 = 4, \quad x_2 = 1\]

Ответ: x = 4, x = 1

22.32 a) - \(\sqrt{x} + 4 = 3x^2\) 1. Преобразуем уравнение:\[3x^2 + \sqrt{x} - 4 = 0\] 2. Сделаем замену \(y = \sqrt{x}\), тогда \(x = y^2\). Уравнение примет вид:\[3(y^2)^2 + y - 4 = 0\]\[3y^4 + y - 4 = 0\] 3. Заметим, что \(y = 1\) является корнем этого уравнения:\[3 \cdot 1^4 + 1 - 4 = 3 + 1 - 4 = 0\] 4. Разделим многочлен \(3y^4 + y - 4\) на \((y - 1)\). Это сложно сделать аналитически, но мы знаем, что \(y = 1\) — корень, значит \(x = y^2 = 1^2 = 1\). 5. Проверим \(x = 1\) в исходном уравнении:\[-\sqrt{1} + 4 = 3 \cdot 1^2\]\[-1 + 4 = 3\]\[3 = 3\]Значит, \(x = 1\) является решением. 6. Аналитическое решение уравнения четвертой степени достаточно сложное, поэтому ограничимся найденным корнем.

Ответ: x = 1

22.32 б) |x| - 3 = -\(\frac{4}{x}\) 1. Умножим обе части уравнения на x, чтобы избавиться от дроби:\[x(|x| - 3) = x(-\frac{4}{x})\]\[x|x| - 3x = -4\]\[x|x| - 3x + 4 = 0\] 2. Рассмотрим два случая: * Случай 1: \(x \geq 0\), тогда \(|x| = x\). Уравнение примет вид:\[x^2 - 3x + 4 = 0\]Дискриминант равен:\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7\]Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней в этом случае. * Случай 2: \(x < 0\), тогда \(|x| = -x\). Уравнение примет вид:\[x(-x) - 3x + 4 = 0\]\[-x^2 - 3x + 4 = 0\]\[x^2 + 3x - 4 = 0\]Дискриминант равен:\[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\]\[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1\]\[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]Так как мы рассматриваем случай \(x < 0\), то подходит только корень \(x = -4\). 3. Проверим \(x = -4\) в исходном уравнении:\[|-4| - 3 = -\frac{4}{-4}\]\[4 - 3 = 1\]\[1 = 1\]Значит, \(x = -4\) является решением.

Ответ: x = -4

Ты отлично справился! Решение уравнений требует внимательности и аккуратности. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя всё получится!