29.14 a) x⁴ – 17x² + 16 = 0; 6) x⁴ + 3x²-10 = 0; в) х⁴ – 10х² + 25 = 0; г) х² + 5x² - 36 = 0.

Решите уравнение, используя метод введения новой переменной:

а) $$x^4 - 17x^2 + 16 = 0$$

Пусть $$x^2 = t$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 17t + 16 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225$$

$$t_1 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2} = \frac{17 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$$

$$t_2 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2} = \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Вернемся к замене:

1) $$x^2 = 16$$

$$x_1 = 4, x_2 = -4$$

2) $$x^2 = 1$$

$$x_3 = 1, x_4 = -1$$

б) $$x^4 + 3x^2 - 10 = 0$$

Пусть $$x^2 = t$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 + 3t - 10 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$

$$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Вернемся к замене:

1) $$x^2 = 2$$

$$x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}$$

2) $$x^2 = -5$$ (нет решения, т.к. квадрат числа не может быть отрицательным)

в) $$x^4 - 10x^2 + 25 = 0$$

Пусть $$x^2 = t$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 10t + 25 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0$$

$$t = \frac{10 + \sqrt{0}}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Вернемся к замене:

$$x^2 = 5$$

$$x_1 = \sqrt{5}, x_2 = -\sqrt{5}$$

г) $$x^4 + 5x^2 - 36 = 0$$

Пусть $$x^2 = t$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 + 5t - 36 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$$

$$t_1 = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$t_2 = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$

Вернемся к замене:

1) $$x^2 = 4$$

$$x_1 = 2, x_2 = -2$$

2) $$x^2 = -9$$ (нет решения, т.к. квадрат числа не может быть отрицательным)

Ответ: a) x = 4, -4, 1, -1; б) x = √2, -√2; в) x = √5, -√5; г) x = 2, -2.