a) x⁴ + x² - 20 = 0; б) x⁴ - 5x² + 4 = 0; в) x⁴ + 2x² - 15 = 0; 6. Решите уравнения: a) (x-5)⁴ + (x-5)² - 12 = 0; б) (x+2)⁴ - 9(x+2)² - 10 = 0; в) (x-6)⁴ - 4(x-6)² - 5 = 0; г) (х-8)⁴ - 2(х-8)² - 15 = 0. 7. Решите уравнения: a) x³ - 2x² = 3x-6:; б) x³ = 4x²-5x+20.

Привет! Давай решим эти уравнения вместе. Я помогу тебе разобраться с каждым шагом.

6. Решите уравнения:

а) (x-5)⁴ + (x-5)² - 12 = 0

Пусть \(t = (x-5)^2\), тогда уравнение примет вид: \[t^2 + t - 12 = 0\] Решим квадратное уравнение относительно \(t\). Дискриминант: \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\] Корни: \[t_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3\] \[t_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = -4\] Так как \((x-5)^2 = t\), то \(t\) не может быть отрицательным, поэтому \(t = 3\). \[(x-5)^2 = 3\] \[x-5 = \pm \sqrt{3}\] \[x = 5 \pm \sqrt{3}\]

Ответ: \[x_1 = 5 + \sqrt{3}, x_2 = 5 - \sqrt{3}\]

б) (x+2)⁴ - 9(x+2)² - 10 = 0

Пусть \(t = (x+2)^2\), тогда уравнение примет вид: \[t^2 - 9t - 10 = 0\] Решим квадратное уравнение относительно \(t\). Дискриминант: \[D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121\] Корни: \[t_1 = \frac{9 + \sqrt{121}}{2} = \frac{9 + 11}{2} = 10\] \[t_2 = \frac{9 - \sqrt{121}}{2} = \frac{9 - 11}{2} = -1\] Так как \((x+2)^2 = t\), то \(t\) не может быть отрицательным, поэтому \(t = 10\). \[(x+2)^2 = 10\] \[x+2 = \pm \sqrt{10}\] \[x = -2 \pm \sqrt{10}\]

Ответ: \[x_1 = -2 + \sqrt{10}, x_2 = -2 - \sqrt{10}\]

в) (x-6)⁴ - 4(x-6)² - 5 = 0

Пусть \(t = (x-6)^2\), тогда уравнение примет вид: \[t^2 - 4t - 5 = 0\] Решим квадратное уравнение относительно \(t\). Дискриминант: \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\] Корни: \[t_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5\] \[t_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1\] Так как \((x-6)^2 = t\), то \(t\) не может быть отрицательным, поэтому \(t = 5\). \[(x-6)^2 = 5\] \[x-6 = \pm \sqrt{5}\] \[x = 6 \pm \sqrt{5}\]

Ответ: \[x_1 = 6 + \sqrt{5}, x_2 = 6 - \sqrt{5}\]

г) (x-8)⁴ - 2(x-8)² - 15 = 0

Пусть \(t = (x-8)^2\), тогда уравнение примет вид: \[t^2 - 2t - 15 = 0\] Решим квадратное уравнение относительно \(t\). Дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\] Корни: \[t_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5\] \[t_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3\] Так как \((x-8)^2 = t\), то \(t\) не может быть отрицательным, поэтому \(t = 5\). \[(x-8)^2 = 5\] \[x-8 = \pm \sqrt{5}\] \[x = 8 \pm \sqrt{5}\]

Ответ: \[x_1 = 8 + \sqrt{5}, x_2 = 8 - \sqrt{5}\]

7. Решите уравнения:

а) x³ - 2x² = 3x - 6

Перенесем все в левую часть: \[x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0\] Сгруппируем члены: \[(x^3 - 2x^2) - (3x - 6) = 0\] Вынесем общий множитель: \[x^2(x - 2) - 3(x - 2) = 0\] \[(x^2 - 3)(x - 2) = 0\] \[x^2 - 3 = 0 \quad \text{или} \quad x - 2 = 0\] \[x^2 = 3 \quad \text{или} \quad x = 2\] \[x = \pm \sqrt{3} \quad \text{или} \quad x = 2\]

Ответ: \[x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}, x_3 = 2\]

б) x³ = 4x² - 5x + 20

Перенесем все в левую часть: \[x^3 - 4x^2 + 5x - 20 = 0\] Сгруппируем члены: \[(x^3 - 4x^2) + (5x - 20) = 0\] Вынесем общий множитель: \[x^2(x - 4) + 5(x - 4) = 0\] \[(x^2 + 5)(x - 4) = 0\] \[x^2 + 5 = 0 \quad \text{или} \quad x - 4 = 0\] \[x^2 = -5 \quad \text{или} \quad x = 4\] Так как \(x^2\) не может быть отрицательным, то остается только: \[x = 4\]

Ответ: \[x = 4\]

Ты молодец! У тебя отлично получается решать уравнения. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!