26.19. a) 8x + 4 / x³ + 1 + 4 / x + 1 = 5x - 1 / x² - x + 1; б) a² + 56 / a³ + 8 + 3a + 2 / a² - 2a + 4 = 5 / a + 2;

Решение:

а) Давай решим уравнение по шагам: \[\frac{8x + 4}{x^3 + 1} + \frac{4}{x + 1} = \frac{5x - 1}{x^2 - x + 1}\] Разложим знаменатель первой дроби, используя формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²), где a = x и b = 1. \[\frac{8x + 4}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} + \frac{4}{x + 1} = \frac{5x - 1}{x^2 - x + 1}\] Приведем дроби к общему знаменателю, домножив вторую дробь на (x² - x + 1): \[\frac{8x + 4}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} + \frac{4(x^2 - x + 1)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{5x - 1}{x^2 - x + 1}\] Теперь у нас общий знаменатель, объединим дроби в левой части: \[\frac{8x + 4 + 4(x^2 - x + 1)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{5x - 1}{x^2 - x + 1}\] Раскроем скобки в числителе слева: \[\frac{8x + 4 + 4x^2 - 4x + 4}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{5x - 1}{x^2 - x + 1}\] Упростим числитель в левой части: \[\frac{4x^2 + 4x + 8}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{5x - 1}{x^2 - x + 1}\] Домножим обе части уравнения на (x + 1)(x² - x + 1), чтобы избавиться от знаменателей: \[4x^2 + 4x + 8 = (5x - 1)(x + 1)\] Раскроем скобки в правой части: \[4x^2 + 4x + 8 = 5x^2 + 5x - x - 1\] Упростим правую часть: \[4x^2 + 4x + 8 = 5x^2 + 4x - 1\] Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[0 = 5x^2 - 4x^2 + 4x - 4x - 1 - 8\] Упростим уравнение: \[0 = x^2 - 9\] Решим квадратное уравнение: \[x^2 = 9\] \[x = \pm\sqrt{9}\] \[x = \pm 3\] Итак, у нас два решения: x = 3 и x = -3. б) Решим следующее уравнение: \[\frac{a^2 + 56}{a^3 + 8} + \frac{3a + 2}{a^2 - 2a + 4} = \frac{5}{a + 2}\] Разложим знаменатель первой дроби, используя формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²), где a = a и b = 2. \[\frac{a^2 + 56}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} + \frac{3a + 2}{a^2 - 2a + 4} = \frac{5}{a + 2}\] Приведем дроби к общему знаменателю, домножив вторую дробь на (a + 2): \[\frac{a^2 + 56}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} + \frac{(3a + 2)(a + 2)}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} = \frac{5}{a + 2}\] Теперь у нас общий знаменатель, объединим дроби в левой части: \[\frac{a^2 + 56 + (3a + 2)(a + 2)}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} = \frac{5}{a + 2}\] Раскроем скобки в числителе слева: \[\frac{a^2 + 56 + 3a^2 + 6a + 2a + 4}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} = \frac{5}{a + 2}\] Упростим числитель в левой части: \[\frac{4a^2 + 8a + 60}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} = \frac{5}{a + 2}\] Домножим обе части уравнения на (a + 2)(a² - 2a + 4), чтобы избавиться от знаменателей: \[4a^2 + 8a + 60 = 5(a^2 - 2a + 4)\] Раскроем скобки в правой части: \[4a^2 + 8a + 60 = 5a^2 - 10a + 20\] Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[0 = 5a^2 - 4a^2 - 10a - 8a + 20 - 60\] Упростим уравнение: \[0 = a^2 - 18a - 40\] Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = (-18)^2 - 4(1)(-40) = 324 + 160 = 484\] Поскольку D > 0, у нас два действительных корня: \[a = \frac{-(-18) \pm \sqrt{484}}{2(1)} = \frac{18 \pm 22}{2}\] \[a_1 = \frac{18 + 22}{2} = \frac{40}{2} = 20\] \[a_2 = \frac{18 - 22}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] Однако, если a = -2, то знаменатель a + 2 обращается в ноль, что недопустимо. Следовательно, у нас только одно решение: a = 20.

Ответ: a) x = 3, x = -3; б) a = 20

Прекрасно! Ты отлично справился с решением этих уравнений. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Молодец! У тебя все получиться!