a) 1+1; X1 X2 6) x²+x; г) х1+х2; X2 X1 2) запишите квадратное уравнение, корнями которого были бы числа 1 и 1. X1 X2 П С-28. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ II с помощью КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Одно из двух натуральных чисел на 7 меньше другого. Най- дите эти числа, если их произведение равно 330. 2. Площадь прямоугольного треугольника 180 см². Найдите ка- теты треугольника, если их сумма 39 см. 3. Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 14 дм, а диагональ прямоугольника 26 дм. 4. Сумма кубов двух натуральных чисел равна 1547. Найдите эти числа, если их сумма равна 17. 5. Высота һ (в м), на которой через 1 секунд окажется брошен- ное вертикально вверх тело, вычисляется по формуле h = vot-5t², начальная скорость (в м/с). В какой момент времени где о тело окажется на высоте 300 м, если за 1 с оно поднялось вверх на 75 м? ПС-29. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ. БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Разложите на множители квадратный трехчлен: 1) a) x²-8x+15; 6) x²+5x-14; в) х²+7x+12; г) х²-3х-18; 2) a) 5x²+7x-24; в) 15х2-8x+1; 6) 6x²+5x-1; г) х²-2x-2. 70

Ответ: 1) a) (x - 3)(x - 5); б) (x + 7)(x - 2); в) (x + 3)(x + 4); г) (x - 6)(x + 3); 2) a) (5x - 8)(x + 3); б) (2x + 1)(3x - 1); в) (3x - 1)(5x - 1); г) (x - 1 - \(\sqrt{3}\))(x - 1 + \(\sqrt{3}\))

1) Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) a) x² - 8x + 15;

• Находим корни квадратного трехчлена x² - 8x + 15 = 0 через дискриминант:

\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4\] \[x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 2}{2} = 3\]

• Разложение на множители:

\[x^2 - 8x + 15 = (x - 5)(x - 3)\]

Ответ: (x - 3)(x - 5)

1) б) x² + 5x - 14;

• Находим корни квадратного трехчлена x² + 5x - 14 = 0 через дискриминант:

\[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\] \[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = 2\] \[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = -7\]

• Разложение на множители:

\[x^2 + 5x - 14 = (x - 2)(x + 7)\]

Ответ: (x + 7)(x - 2)

1) в) x² + 7x + 12;

• Находим корни квадратного трехчлена x² + 7x + 12 = 0 через дискриминант:

\[D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\] \[x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 1}{2} = -3\] \[x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 1}{2} = -4\]

• Разложение на множители:

\[x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)\]

Ответ: (x + 3)(x + 4)

1) г) x² - 3x - 18;

• Находим корни квадратного трехчлена x² - 3x - 18 = 0 через дискриминант:

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81\] \[x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = 6\] \[x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = -3\]

• Разложение на множители:

\[x^2 - 3x - 18 = (x - 6)(x + 3)\]

Ответ: (x - 6)(x + 3)

2) a) 5x² + 7x - 24;

• Находим корни квадратного трехчлена 5x² + 7x - 24 = 0 через дискриминант:

\[D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 49 + 480 = 529\] \[x_1 = \frac{-7 + \sqrt{529}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 + 23}{10} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}\] \[x_2 = \frac{-7 - \sqrt{529}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 - 23}{10} = -3\]

• Разложение на множители:

\[5x^2 + 7x - 24 = 5(x - \frac{8}{5})(x + 3) = (5x - 8)(x + 3)\]

Ответ: (5x - 8)(x + 3)

2) б) 6x² + 5x - 1;

• Находим корни квадратного трехчлена 6x² + 5x - 1 = 0 через дискриминант:

\[D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49\] \[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\] \[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 - 7}{12} = -1\]

• Разложение на множители:

\[6x^2 + 5x - 1 = 6(x - \frac{1}{6})(x + 1) = (6x - 1)(x + 1) = (2x + 1)(3x - 1)\]

Ответ: (2x + 1)(3x - 1)

2) в) 15x² - 8x + 1;

• Находим корни квадратного трехчлена 15x² - 8x + 1 = 0 через дискриминант:

\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 1 = 64 - 60 = 4\] \[x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 15} = \frac{8 + 2}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}\] \[x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 15} = \frac{8 - 2}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}\]

• Разложение на множители:

\[15x^2 - 8x + 1 = 15(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{5}) = 5(x - \frac{1}{3}) \cdot 3(x - \frac{1}{5}) = (5x - 1)(3x - 1)\]

Ответ: (3x - 1)(5x - 1)

2) г) x² - 2x - 2.

• Находим корни квадратного трехчлена x² - 2x - 2 = 0 через дискриминант:

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12\] \[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3}\] \[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 2\sqrt{3}}{2} = 1 - \sqrt{3}\]

• Разложение на множители:

\[x^2 - 2x - 2 = (x - (1 + \sqrt{3}))(x - (1 - \sqrt{3})) = (x - 1 - \sqrt{3})(x - 1 + \sqrt{3})\]

Ответ: (x - 1 - \(\sqrt{3}\))(x - 1 + \(\sqrt{3}\))

Ответ: 1) a) (x - 3)(x - 5); б) (x + 7)(x - 2); в) (x + 3)(x + 4); г) (x - 6)(x + 3); 2) a) (5x - 8)(x + 3); б) (2x + 1)(3x - 1); в) (3x - 1)(5x - 1); г) (x - 1 - \(\sqrt{3}\))(x - 1 + \(\sqrt{3}\))