419 a) {xy = 6, 2x - 3y = 6;

a)

Выразим y из первого уравнения: $$y = \frac{6}{x}$$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $$2x - 3(\frac{6}{x}) = 6$$.

Умножим обе части уравнения на x: $$2x^2 - 18 = 6x$$.

Перенесем все в одну сторону: $$2x^2 - 6x - 18 = 0$$.

Разделим обе части уравнения на 2: $$x^2 - 3x - 9 = 0$$.

Найдем дискриминант: $$D = (-3)^2 - 4(1)(-9) = 9 + 36 = 45$$.

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{3 + \sqrt{45}}{2} = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{2}$$

$$x_2 = \frac{3 - \sqrt{45}}{2} = \frac{3 - 3\sqrt{5}}{2}$$

Теперь найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = \frac{6}{x_1} = \frac{6}{\frac{3 + 3\sqrt{5}}{2}} = \frac{12}{3 + 3\sqrt{5}} = \frac{4}{1 + \sqrt{5}} = \frac{4(1 - \sqrt{5})}{(1 + \sqrt{5})(1 - \sqrt{5})} = \frac{4(1 - \sqrt{5})}{1 - 5} = \frac{4(1 - \sqrt{5})}{-4} = \sqrt{5} - 1$$

$$y_2 = \frac{6}{x_2} = \frac{6}{\frac{3 - 3\sqrt{5}}{2}} = \frac{12}{3 - 3\sqrt{5}} = \frac{4}{1 - \sqrt{5}} = \frac{4(1 + \sqrt{5})}{(1 - \sqrt{5})(1 + \sqrt{5})} = \frac{4(1 + \sqrt{5})}{1 - 5} = \frac{4(1 + \sqrt{5})}{-4} = -1 - \sqrt{5}$$

Решения системы уравнений:

$$(\frac{3 + 3\sqrt{5}}{2}, \sqrt{5} - 1)$$

$$(\frac{3 - 3\sqrt{5}}{2}, -1 - \sqrt{5})$$

Ответ: $$(\frac{3 + 3\sqrt{5}}{2}, \sqrt{5} - 1), (\frac{3 - 3\sqrt{5}}{2}, -1 - \sqrt{5})$$