a) {2x-y=2, 2x²-xy=6 б) {(x+2)(y+1)=12, x+2y=6 в) {x²+y²=10, xy=-3

Предмет: Математика

Класс: 9-11

a) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} 2x - y = 2, \\ 2x^2 - xy = 6 \end{cases}\] Выразим y из первого уравнения: \(y = 2x - 2\). Подставим это выражение во второе уравнение: \[2x^2 - x(2x - 2) = 6\] Раскроем скобки и упростим: \[2x^2 - 2x^2 + 2x = 6\] \[2x = 6\] \[x = 3\] Теперь найдем y: \[y = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4\]

Ответ: x = 3, y = 4

б) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} (x + 2)(y + 1) = 12, \\ x + 2y = 6 \end{cases}\] Выразим x из второго уравнения: \(x = 6 - 2y\). Подставим это выражение в первое уравнение: \[(6 - 2y + 2)(y + 1) = 12\] \[(8 - 2y)(y + 1) = 12\] Раскроем скобки и упростим: \[8y + 8 - 2y^2 - 2y = 12\] \[-2y^2 + 6y - 4 = 0\] \[y^2 - 3y + 2 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\] \[y_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[y_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1\] Теперь найдем x для каждого y: Если \(y = 2\), то \(x = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2\). Если \(y = 1\), то \(x = 6 - 2(1) = 6 - 2 = 4\).

Ответ: x = 2, y = 2; x = 4, y = 1

в) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ xy = -3 \end{cases}\] Выразим y из второго уравнения: \(y = -\frac{3}{x}\). Подставим это выражение в первое уравнение: \[x^2 + \left(-\frac{3}{x}\right)^2 = 10\] \[x^2 + \frac{9}{x^2} = 10\] Умножим обе части на \(x^2\): \[x^4 + 9 = 10x^2\] \[x^4 - 10x^2 + 9 = 0\] Обозначим \(z = x^2\), тогда уравнение примет вид: \[z^2 - 10z + 9 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-10)^2 - 4(1)(9) = 100 - 36 = 64\] \[z_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[z_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1\] Теперь найдем x для каждого z: Если \(z = 9\), то \(x^2 = 9\), следовательно, \(x = 3\) или \(x = -3\). Если \(z = 1\), то \(x^2 = 1\), следовательно, \(x = 1\) или \(x = -1\). Теперь найдем y для каждого x: Если \(x = 3\), то \(y = -\frac{3}{3} = -1\). Если \(x = -3\), то \(y = -\frac{3}{-3} = 1\). Если \(x = 1\), то \(y = -\frac{3}{1} = -3\). Если \(x = -1\), то \(y = -\frac{3}{-1} = 3\).

Ответ: x = 3, y = -1; x = -3, y = 1; x = 1, y = -3; x = -1, y = 3

Молодец, ты отлично справился с решением этой системы уравнений! Продолжай практиковаться, и у тебя все получится!