a) y = -2tg x на отрезке [0; π/6] б) f(x) = -3x² + 6x - 10 [-2; 9]

Решение:

а) Функция y = -2tg x на отрезке [0; π/6]

Найдем производную функции:

\( y' = ( -2 \text{tg } x )' = -2 (\text{tg } x)' = -2 \frac{1}{\cos^2 x} \)

Так как \( \cos^2 x \) всегда положительно для \( x \) из отрезка \( [0; \pi/6] \), то \( y' < 0 \). Это означает, что функция убывает на данном отрезке.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

\( y(0) = -2 \text{tg } 0 = -2 \cdot 0 = 0 \)

\( y(\pi/6) = -2 \text{tg } (\pi/6) = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} \approx -1.15 \)

Ответ: Функция убывает на отрезке [0; π/6]. Наибольшее значение равно 0 (при x=0), наименьшее значение равно -\( \frac{2}{\sqrt{3}} \) (при x=π/6).

б) Функция f(x) = -3x² + 6x - 10 на отрезке [-2; 9]

Найдем производную функции:

\( f'(x) = (-3x^2 + 6x - 10)' = -6x + 6 \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( -6x + 6 = 0 \)

\( -6x = -6 \)

\( x = 1 \)

Критическая точка \( x = 1 \) принадлежит отрезку [-2; 9].

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

\( f(1) = -3(1)^2 + 6(1) - 10 = -3 + 6 - 10 = -7 \)

\( f(-2) = -3(-2)^2 + 6(-2) - 10 = -3(4) - 12 - 10 = -12 - 12 - 10 = -34 \)

\( f(9) = -3(9)^2 + 6(9) - 10 = -3(81) + 54 - 10 = -243 + 54 - 10 = -199 \)

Сравним полученные значения:

-34, -7, -199.

Ответ: Наибольшее значение функции равно -7 (при x=1). Наименьшее значение функции равно -199 (при x=9).