A1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: a) y = 1/2 * x^2, y = 0, x = 3; б) y = -x^2 - 2x, y = 0; в) y = sin x, y = 0, x = pi/3; г) y = 1/x^2, y = 0, x = -2, x = -1.

Краткое пояснение:

Решение:

a) y = 1/2 * x^2, y = 0, x = 3

Верхняя функция: y = 1/2 * x^2

Нижняя функция: y = 0

Интервал интегрирования: от 0 до 3.

Площадь S = ∫ (1/2 * x^2 - 0) dx от 0 до 3

S = ∫ (1/2 * x^2) dx от 0 до 3

S = [1/6 * x^3] от 0 до 3

S = (1/6 * 3^3) - (1/6 * 0^3)

S = (1/6 * 27) - 0

S = 27/6 = 9/2 = 4.5

б) y = -x^2 - 2x, y = 0

Сначала найдем точки пересечения y = -x^2 - 2x и y = 0:

-x^2 - 2x = 0

x(-x - 2) = 0

x1 = 0, x2 = -2

Так как парабола y = -x^2 - 2x открывается вниз, то на интервале [-2, 0] функция положительна относительно оси x.

Верхняя функция: y = -x^2 - 2x

Нижняя функция: y = 0

Интервал интегрирования: от -2 до 0.

Площадь S = ∫ (-x^2 - 2x - 0) dx от -2 до 0

S = ∫ (-x^2 - 2x) dx от -2 до 0

S = [-1/3 * x^3 - x^2] от -2 до 0

S = (-1/3 * 0^3 - 0^2) - (-1/3 * (-2)^3 - (-2)^2)

S = 0 - (-1/3 * (-8) - 4)

S = - (8/3 - 4)

S = - (8/3 - 12/3)

S = - (-4/3) = 4/3

в) y = sin x, y = 0, x = pi/3

Интервал интегрирования: от 0 до pi/3.

Верхняя функция: y = sin x

Нижняя функция: y = 0

Площадь S = ∫ (sin x - 0) dx от 0 до pi/3

S = ∫ (sin x) dx от 0 до pi/3

S = [-cos x] от 0 до pi/3

S = (-cos(pi/3)) - (-cos(0))

S = (-1/2) - (-1)

S = -1/2 + 1 = 1/2

г) y = 1/x^2, y = 0, x = -2, x = -1

В этом случае функция y = 1/x^2 не определена в точке x=0, которая находится между -2 и -1. Однако, если бы интервал был, например, от -2 до -1, то:

Верхняя функция: y = 1/x^2

Нижняя функция: y = 0

Интервал интегрирования: от -2 до -1.

Площадь S = ∫ (1/x^2 - 0) dx от -2 до -1

S = ∫ (x^-2) dx от -2 до -1

S = [-x^-1] от -2 до -1

S = [-1/x] от -2 до -1

S = (-1/(-1)) - (-1/(-2))

S = 1 - 1/2 = 1/2

Важно: Если бы интервал включал x=0, то интеграл был бы несобственным и расходился бы, означая бесконечную площадь.

Ответ:

a) 4.5

б) 4/3

в) 1/2

г) 1/2