A11. Игральную кость бросают до тех пор, пока на ней не выпадет пять очков. Найдите вероятность того, что потребуется сделать: а) ровно три броска; б) больше двух бросков.

Решение:

Это задача на геометрическую вероятность. Вероятность выпадения пяти очков при одном броске игральной кости равна \( p = \frac{1}{6} \). Вероятность невыпадения пяти очков равна \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \).

а) Ровно три броска.

Это означает, что первые два броска не дали пяти очков, а третий бросок дал пять очков. Вероятность такого события равна:

\[ P(X=3) = q^{3-1} · p = q^2 · p = \left(\frac{5}{6}\right)^2 · \frac{1}{6} = \frac{25}{36} · \frac{1}{6} = \frac{25}{216} \]

б) Больше двух бросков.

Это означает, что первые два броска не дали пяти очков. Событие "больше двух бросков" противоположно событию "ровно два броска".

Вероятность того, что потребуется ровно два броска (первый бросок не пять очков, второй бросок — пять очков):

\[ P(X=2) = q^{2-1} · p = q · p = \frac{5}{6} · \frac{1}{6} = \frac{5}{36} \]

Вероятность того, что потребуется больше двух бросков, равна:

\[ P(X > 2) = 1 - P(X=2) = 1 - \frac{5}{36} = \frac{36 - 5}{36} = \frac{31}{36} \]

Ответ: а) \( \frac{25}{216} \); б) \( \frac{31}{36} \).