A12. С крыши строящегося дома упал маленький кусок кирпича. Верхний этаж он пролетел за промежуток времени Δt₁ = 1,0 с, нижний — за промежуток времени Δt₂ = 0,20 с. Если высота этажей одинакова, то промежуток времени Δt, в течение которого падал кусок кирпича, равен: 1) 2,6 с; 2) 2,8 с; 3) 3,0 с; 4) 3,3 с; 5) 4,0 с.

Решение:

Обозначим высоту одного этажа как \( h \), начальную скорость падения в начале верхнего этажа как \( v_0 \), а ускорение свободного падения как \( g \).

Уравнение движения для верхнего этажа:

\( h = v_0 \Delta t_1 + \frac{1}{2} g \Delta t_1^2 \)

\( h = v_0 \cdot 1.0 + \frac{1}{2} g (1.0)^2 = v_0 + 0.5g \)

Скорость в конце верхнего этажа (начало нижнего этажа) будет:

\( v_1 = v_0 + g \Delta t_1 = v_0 + g \cdot 1.0 = v_0 + g \)

Уравнение движения для нижнего этажа:

\( h = v_1 \Delta t_2 + \frac{1}{2} g \Delta t_2^2 \)

\( h = (v_0 + g) \cdot 0.20 + \frac{1}{2} g (0.20)^2 \)

\( h = 0.20 v_0 + 0.20 g + 0.02 g = 0.20 v_0 + 0.22 g \)

Приравняем выражения для \( h \):

\( v_0 + 0.5g = 0.20 v_0 + 0.22 g \)

\( 0.80 v_0 = -0.28 g \)

\( v_0 = - \frac{0.28}{0.80} g = -0.35 g \)

Теперь найдём полную высоту падения \( H \) и полное время падения \( \Delta t \).

Полная высота \( H = 2h \).

\( h = -0.35g + 0.5g = 0.15g \)

\( H = 2 \cdot 0.15g = 0.30g \)

Время падения от начала до конца нижнего этажа (то есть с крыши до конца нижнего этажа):

\( v_{final}^2 = v_0^2 + 2gH \)

\( v_{final}^2 = (-0.35g)^2 + 2g(0.30g) = 0.1225g^2 + 0.6g^2 = 0.7225g^2 \)

\( v_{final} = \sqrt{0.7225g^2} = 0.85g \)

Время полного падения \( \Delta t \) можно найти из \( v_{final} = v_0 + g \Delta t \):

\( 0.85g = -0.35g + g \Delta t \)

\( 1.20g = g \Delta t \)

\( \Delta t = 1.20 \) с

Проверим вариант 1: \( \Delta t = 2.6 \) с

Проверка:

Пусть \( \Delta t = 2.6 \) с. Тогда \( H = \frac{1}{2} g \Delta t^2 = \frac{1}{2} g (2.6)^2 = 0.5g \cdot 6.76 = 3.38g \).

\( h = \frac{H}{2} = 1.69g \).

Время прохождения верхнего этажа \( \Delta t_1 \) можно найти из \( h = v_{start} \Delta t_1 + \frac{1}{2} g \Delta t_1^2 \) и \( v_{end} = v_{start} + g \Delta t_1 \).

Скорость в начале верхнего этажа \( v_0 = \sqrt{2gh_{upper}} \).

Пусть \( t_0 \) — время от начала падения до начала верхнего этажа.

\( h = \frac{1}{2} g (t_0 + \Delta t_1)^2 - \frac{1}{2} g t_0^2 \)

\( h = \frac{1}{2} g (t_0^2 + 2t_0 \Delta t_1 + \Delta t_1^2) - \frac{1}{2} g t_0^2 \)

\( h = g t_0 \Delta t_1 + \frac{1}{2} g \Delta t_1^2 \)

\( v_0 = g t_0 \) (если \( t_0 \) — время от крыши до начала верхнего этажа)

\( h = v_0 \Delta t_1 + \frac{1}{2} g \Delta t_1^2 \).

Время прохождения нижнего этажа \( \Delta t_2 = 0.2 \) с.

Высота верхнего этажа \( h_1 \) и нижнего \( h_2 \).

\( h_1 = v_0 \Delta t_1 + \frac{1}{2} g \Delta t_1^2 \)

\( h_2 = (v_0 + g \Delta t_1) \Delta t_2 + \frac{1}{2} g \Delta t_2^2 \)

\( h_1 = h_2 = h \)

\( v_0 \cdot 1.0 + \frac{1}{2} g (1.0)^2 = (v_0 + g \cdot 1.0) \cdot 0.2 + \frac{1}{2} g (0.2)^2 \)

\( v_0 + 0.5g = 0.2 v_0 + 0.2g + 0.02g \)

\( v_0 + 0.5g = 0.2 v_0 + 0.22g \)

\( 0.8 v_0 = -0.28g \)

\( v_0 = -0.35g \)

Высота одного этажа \( h = v_0 + 0.5g = -0.35g + 0.5g = 0.15g \)

Полная высота \( H = 2h = 0.30g \)

Время падения \( \Delta t \) от крыши до земли (когда тело пролетело \( H \)):

\( H = \frac{1}{2} g \Delta t^2 \)

\( 0.30g = \frac{1}{2} g \Delta t^2 \)

\( \Delta t^2 = 0.6 \)

\( \Delta t = \sqrt{0.6} \approx 0.77 \) с.

Эта скорость \( v_0 = -0.35g \) получается, если движение началось раньше. Но сказано, что упал с крыши.

Сделаем перерасчет, считая, что \( v_0 = 0 \) в начале падения с крыши.

Пусть \( t_1 \) — время падения до начала верхнего этажа.

\( h = \frac{1}{2} g (t_1 + \Delta t_1)^2 - \frac{1}{2} g t_1^2 \)

\( h = \frac{1}{2} g (t_1 + 1)^2 - \frac{1}{2} g t_1^2 = \frac{1}{2} g (t_1^2 + 2t_1 + 1) - \frac{1}{2} g t_1^2 = gt_1 + 0.5g \)

\( h = \frac{1}{2} g (t_1 + \Delta t_1 + \Delta t_2)^2 - \frac{1}{2} g (t_1 + \Delta t_1)^2 \)

\( h = \frac{1}{2} g (t_1 + 1.2)^2 - \frac{1}{2} g (t_1 + 1)^2 \)

\( h = \frac{1}{2} g (t_1^2 + 2.4t_1 + 1.44) - \frac{1}{2} g (t_1^2 + 2t_1 + 1) \)

\( h = gt_1 (1.2 - 1) + 0.5g (1.44 - 1) = 0.2gt_1 + 0.22g \)

Приравниваем выражения для \( h \):

\( gt_1 + 0.5g = 0.2gt_1 + 0.22g \)

Делим на \( g \):

\( t_1 + 0.5 = 0.2t_1 + 0.22 \)

\( 0.8t_1 = 0.22 - 0.5 = -0.28 \)

\( t_1 = - \frac{0.28}{0.8} = -0.35 \) с. Это опять отрицательное время, что означает, что начало движения не с нулевой скоростью.

Вернемся к первому подходу, но учтем, что \( v_0 \) — это скорость в момент начала падения с крыши.

Сделаем предположение, что \( \boldsymbol{v_0 = 0} \) в момент падения с крыши. Тогда:

Высота верхнего этажа: \( h = \frac{1}{2}g(\Delta t_1)^2 = \frac{1}{2}g(1)^2 = 0.5g \)

Скорость в конце верхнего этажа: \( v_1 = g\Delta t_1 = g(1) = g \)

Высота нижнего этажа: \( h = v_1 \Delta t_2 + \frac{1}{2}g(\Delta t_2)^2 = g(0.2) + \frac{1}{2}g(0.2)^2 = 0.2g + 0.02g = 0.22g \)

Получили противоречие: \( 0.5g \neq 0.22g \).

Значит, тело начало падать не с нулевой скоростью, а \( v_0 \) — это скорость в момент падения с крыши.

Пусть \( t \) — общее время падения.

Высота верхнего этажа: \( h \)

Время падения до начала верхнего этажа: \( t_{start} \)

Время падения до конца верхнего этажа: \( t_{end1} = t_{start} + 1.0 \)

Время падения до конца нижнего этажа: \( t_{end2} = t_{end1} + 0.2 = t_{start} + 1.2 \)

\( h = \frac{1}{2} g (t_{end1})^2 - \frac{1}{2} g (t_{start})^2 \)

\( h = \frac{1}{2} g (t_{end2})^2 - \frac{1}{2} g (t_{end1})^2 \)

Приравниваем:

\( \frac{1}{2} g (t_{end1})^2 - \frac{1}{2} g (t_{start})^2 = \frac{1}{2} g (t_{end2})^2 - \frac{1}{2} g (t_{end1})^2 \)

\( (t_{end1})^2 - (t_{start})^2 = (t_{end2})^2 - (t_{end1})^2 \)

\( 2(t_{end1})^2 = (t_{start})^2 + (t_{end2})^2 \)

Подставляем \( t_{end1} = t_{start} + 1.0 \) и \( t_{end2} = t_{start} + 1.2 \):

\( 2(t_{start} + 1.0)^2 = (t_{start})^2 + (t_{start} + 1.2)^2 \)

\( 2(t_{start}^2 + 2t_{start} + 1) = t_{start}^2 + (t_{start}^2 + 2.4t_{start} + 1.44) \)

\( 2t_{start}^2 + 4t_{start} + 2 = 2t_{start}^2 + 2.4t_{start} + 1.44 \)

\( 4t_{start} + 2 = 2.4t_{start} + 1.44 \)

\( 4t_{start} - 2.4t_{start} = 1.44 - 2 \)

\( 1.6t_{start} = -0.56 \)

\( t_{start} = - \frac{0.56}{1.6} = -0.35 \) с.

Опять отрицательное время. Это значит, что мы неверно трактуем задачу.

Задача, скорее всего, подразумевает, что \( v_0 = 0 \) при падении с крыши.

Давайте переосмыслим условие.