A13. Концентрация молекул идеального газа увеличилась в 5 раз, а его абсолютная температура уменьшилась в 2 раза. Во сколько раз увеличилось при этом давление газа?

Решение:

Используем уравнение состояния идеального газа Менделеева-Клапейрона: \( PV = \nu RT \).

Где:

• \( P \) — давление газа.
• \( V \) — объём газа.
• \( \nu \) — количество вещества газа (моль).
• \( R \) — универсальная газовая постоянная.
• \( T \) — абсолютная температура газа.

Концентрация молекул \( n = \frac{N}{V} \), где \( N \) — число молекул. Так как \( N = \nu N_A \), где \( N_A \) — число Авогадро, то \( V = \frac{\nu N_A}{n} \).

Подставим \( V \) в уравнение состояния:

\( P \cdot \frac{\nu N_A}{n} = \nu RT \)

Сократим \( \nu \) и \( N_A \) (так как \( R \) и \( N_A \) — константы, можно ввести новую константу \( k = \frac{R}{N_A} \), которая является постоянной Больцмана):

\( P = \frac{nRT}{N_A} = nkT \)

Из уравнения \( P = nkT \) следует, что давление газа прямо пропорционально концентрации молекул и абсолютной температуре.

Обозначим начальные значения как \( P_1, n_1, T_1 \) и конечные как \( P_2, n_2, T_2 \).

Дано:

• \( n_2 = 5n_1 \) (концентрация увеличилась в 5 раз)
• \( T_2 = \frac{T_1}{2} \) (температура уменьшилась в 2 раза)

Найдем отношение давлений \( \frac{P_2}{P_1} \):

\( P_1 = n_1 k T_1 \)

\( P_2 = n_2 k T_2 = (5n_1) k (\frac{T_1}{2}) = \frac{5}{2} n_1 k T_1 \)

\( \frac{P_2}{P_1} = \frac{\frac{5}{2} n_1 k T_1}{n_1 k T_1} = \frac{5}{2} = 2.5 \)

Таким образом, давление газа увеличилось в 2.5 раза.

Ответ: 3) в 2,5 раза