А15. а) Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 3, CK = 7. б) В параллелограмме ABCD, периметр которого равен 120, биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E. Найдите CD, если EC = 22.

а) Так как AK — биссектриса угла A, а AD ∥ BC, то ∠BAK = ∠AKB. Следовательно, треугольник ABK равнобедренный, поэтому AB = BK = 3.

Сторона BC равна:

\(BC = BK + KC = 3 + 7 = 10\).

Периметр параллелограмма:

\(P = 2(AB + BC) = 2(3 + 10) = 26\).

б) Аналогично, треугольник ABE равнобедренный, поэтому \(AB = BE\). Обозначим \(AB = BE = x\). Тогда:

\(BC = BE + EC = x + 22\).

По условию:

\(2(AB + BC) = 120\),

\(2(x + x + 22) = 120\),

\(2x + 22 = 60\),

\(x = 19\).

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \(CD = AB = 19\).

Ответ: а) 26; б) 19.