A16. а) Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. б) Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 37°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника.

Пусть прямоугольный треугольник имеет прямой угол при вершине C, а его острые углы равны α и β, где α + β = 90°.

Биссектриса прямого угла образует с каждым катетом угол 45°. Медиана к гипотенузе проходит через её середину. Если угол между медианой и биссектрисой равен φ, то меньший острый угол треугольника равен \(45° - 2φ\) или \(45° + 2φ\), в зависимости от расположения медианы. Для меньшего угла выбирается значение, не превосходящее 45°.

1. При \(φ=14°\): \(45°-2\cdot14°=17°\).
2. При \(φ=37°\): \(45°-2\cdot37°=-29°\), поэтому используется второй вариант: \(45°+2\cdot37°=119°\), что невозможно для острого угла. Следовательно, при таком расположении угол между лучами следует понимать как меньший угол, и меньший острый угол равен \(2\cdot37°-45°=29°\).

Ответ: а) 17°; б) 29°.