А19. а) Острый угол прямоугольного треугольника равен 45°, а гипотенуза равна 12. Найдите отрезки, на которые делит гипотенузу высота, проведённая из вершины прямого угла.

Решение:

1. Анализ задачи: В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Если один из острых углов равен 45°, то второй острый угол также равен 45° (так как сумма углов в треугольнике 180°, а 180° - 90° - 45° = 45°). Это означает, что треугольник является равнобедренным.
2. Свойства равнобедренного прямоугольного треугольника: В таком треугольнике катеты равны. Пусть катеты будут равны 'a'. По теореме Пифагора: a² + a² = гипотенуза².
3. Вычисление катетов: 2a² = 12². 2a² = 144. a² = 72. a = \(\sqrt{72}\) = \(6\sqrt{2}\).
4. Свойства высоты в равнобедренном прямоугольном треугольнике: Высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, в равнобедренном прямоугольном треугольнике является также медианой. Это значит, что она делит гипотенузу пополам.
5. Вычисление отрезков гипотенузы: Каждый отрезок будет равен половине гипотенузы. 12 / 2 = 6.

Ответ: 6 и 6