А2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите три вектора, по которым можно разложить вектор AC₁.

Вектор AC₁ можно разложить по трем некомпланарным векторам, исходящим из одной вершины. В кубе такими векторами могут быть векторы, соответствующие ребрам, выходящим из вершины A: AB, AD, AA₁. Вектор AC₁ является диагональю куба. AC₁ = AB + BC + CC₁. Так как BC = AD и CC₁ = AA₁, то AC₁ = AB + AD + AA₁. Вариант 3: BC, AB, DD₁. Векторы BC и AB лежат в плоскости основания. Вектор DD₁ параллелен AA₁ и перпендикулярен плоскости основания. Таким образом, BC, AB, DD₁ являются некомпланарными и могут служить базисом. AC₁ = AB + BC + CC₁ = AB + BC + DD₁. Вариант 1: AA₁, DD₁, CC₁. Эти векторы коллинеарны, поэтому не могут служить базисом. Вариант 2: CB, AD, BC₁. CB и AD коллинеарны и противоположно направлены. BC₁ не является базисным вектором. Вариант 4: AD₁, BC₁, BB₁. AD₁ и BC₁ не являются базисными векторами. Правильный ответ: 3) BC, AB, DD₁.