А2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите три вектора, по которым можно разложить вектор →CA₁.

Решение:

Чтобы разложить вектор →CA₁, нам нужно найти три вектора, которые, будучи сложенными или вычтенными, дадут в результате →CA₁. Эти векторы должны быть связаны с рёбрами куба.

Рассмотрим вектор →CA₁. Его можно представить как сумму векторов, исходящих из точки C и приводящих в точку A₁.

Используя правило сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма), мы можем представить →CA₁ как:

→CA₁ = →CB + →BB₁ + ↑B₁A₁

Однако, в вариантах предложены векторы, связанные с рёбрами куба, исходящими из одной вершины или расположенными параллельно.

Давайте представим →CA₁ как путь от C до A₁, проходящий через A:

→CA₁ = →CB + →BA + →AA₁

В кубе →CB = -→BC, →BA = -→AB, →AA₁.

Рассмотрим векторы, исходящие из одной вершины, например, из A:

→AC = →AB + →BC. Тогда →CA = -→AB - →BC.

→CA₁ = →CA + →AA₁ = (-→AB - →BC) + →AA₁.

Теперь посмотрим на предложенные варианты:

• 1) →AA₁, →DD₁, →CC₁: Эти векторы параллельны и равны по длине, они задают направление высоты куба. Из них можно составить вектор, параллельный боковому ребру, но не →CA₁.
• 2) →CB, →AD, →BC₁: →CB и →AD параллельны. →BC₁ — диагональ грани.
• 3) →BC, →CD, →BB₁: Эти векторы соответствуют рёбрам куба. Пусть →BC = →a, →CD = →b, →BB₁ = →c. Тогда →CB = -→a, →CD = →b. Мы можем представить →CA₁ как путь: →CA₁ = →CB + →BB₁ + ↑B₁A₁. Так как ↑B₁A₁ = →DC = -→CD, то →CA₁ = →CB + →BB₁ - →CD. Это не соответствует предложенным векторам в чистом виде.
• 4) →BC₁, →DA₁, →DD₁: Эти векторы не подходят.

Вернёмся к разложению →CA₁. Можно идти из C в A₁ через B:

→CA₁ = →CB + →BB₁ + ↑B₁A₁

Так как ↑B₁A₁ = →DC = -→CD, то

→CA₁ = →CB + →BB₁ - →CD

Если мы возьмём векторы →BC, →CD, →BB₁:

Из C в A₁ можно пройти через D:

→CA₁ = →CD + →DD₁ + ↑DA₁.

Так как ↑DA₁ = →CB, то →CA₁ = →CD + →DD₁ + →CB.

Таким образом, вектор →CA₁ можно разложить по векторам →CB, →CD, →DD₁. Это не совпадает ни с одним из вариантов.

Давайте рассмотрим разложение →CA₁ через векторы, исходящие из точки A₁:

→A₁C = →A₁B₁ + ↑B₁C₁ + ↑C₁C. Тогда →CA₁ = -→A₁B₁ - ↑B₁C₁ - ↑C₁C.

Рассмотрим векторы, исходящие из C:

→CA₁ = →CB + →BB₁ + ↑B₁A₁ = →CB + →BB₁ - →CD.

Среди предложенных векторов варианта 3: →BC, →CD, →BB₁. Если →BC = →a, →CD = →b, →BB₁ = →c. Тогда →CA₁ = -→a + →c - →b.

Проверим вариант 3: →BC, →CD, →BB₁.

Тогда →CA₁ = →CB + →BB₁ + ↑B₁A₁. Заменим ↑B₁A₁ на вектор, параллельный →CD, но противоположный по направлению: ↑B₁A₁ = -→CD.

Итак, →CA₁ = →CB + →BB₁ - →CD.

Если мы выберем векторы →BC, →CD, →BB₁, то:

→CA₁ = →CB + →BB₁ + ↑B₁A₁ = -→BC + →BB₁ - →CD.

Таким образом, вектор →CA₁ раскладывается по векторам →BC, →CD, →BB₁ с коэффициентами -1, -1, 1 соответственно. Это соответствует варианту 3, если учесть, что векторы могут быть взяты с противоположным знаком.

Ответ: 3) →BC, →CD, →BB₁