А2. Сократите дробь, предварительно разложив числитель и знаменатель дроби на множители: а) $\frac{12x-3x^3}{6x+6}$; б) $\frac{y-3}{y^2-6y+9}$; в) $\frac{m^2-4}{m^2+4m+4}$; г) $\frac{n^2-n-1}{n^4-n^3-n^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: А2. Сократите дробь, предварительно разложив числитель и знаменатель дроби на множители: а) $\frac{12x-3x^3}{6x+6}$; б)…$ Фото задания

А2. Сократите дробь, предварительно разложив числитель и знаменатель дроби на множители: а) $\frac{12x-3x^3}{6x+6}$; б) $\frac{y-3}{y^2-6y+9}$; в) $\frac{m^2-4}{m^2+4m+4}$; г) $\frac{n^2-n-1}{n^4-n^3-n^2}$.

Accepted Answer

а)

Разложим на множители:

$12x-3x^3=3x(4-x^2)=3x(2-x)(2+x)$,

$6x+6=6(x+1)$.

Общих множителей нет, поэтому

\[\frac{12x-3x^3}{6x+6}=\frac{3x(2-x)(2+x)}{6(x+1)}=\frac{x(2-x)(2+x)}{2(x+1)}.\]

Ограничение: $x\ne-1$.

б)

$y^2-6y+9=(y-3)^2$, поэтому

\[\frac{y-3}{y^2-6y+9}=\frac{y-3}{(y-3)^2}=\frac{1}{y-3}.\]

Ограничение: $y\ne3$.

в)

Разложим на множители:

$m^2-4=(m-2)(m+2)$,

$m^2+4m+4=(m+2)^2$.

Тогда

\[\frac{m^2-4}{m^2+4m+4}=\frac{(m-2)(m+2)}{(m+2)^2}=\frac{m-2}{m+2}.\]

Ограничение: $m\ne-2$.

г)

Вынесем $n^2$ за скобки в знаменателе:

$n^4-n^3-n^2=n^2(n^2-n-1)$.

Следовательно,

\[\frac{n^2-n-1}{n^4-n^3-n^2}=\frac{n^2-n-1}{n^2(n^2-n-1)}=\frac{1}{n^2}.\]

Ограничения: $n\ne0$, $n^2-n-1\ne0$, то есть $n\ne\frac{1\pm\sqrt5}{2}$.

Ответ: а) $\frac{x(2-x)(2+x)}{2(x+1)}$; б) $\frac1{y-3}$; в) $\frac{m-2}{m+2}$; г) $\frac1{n^2}$.

А2. Сократите дробь, предварительно разложив числитель и знаменатель дроби на множители: а) \(\frac{12x-3x^3}{6x+6}\); б) \(\frac{y-3}{y^2-6y+9}\); в) \(\frac{m^2-4}{m^2+4m+4}\); г) \(\frac{n^2-n-1}{n^4-n^3-n^2}\).

Ответ: