A2. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠A = 30°, AC = 10 см. CD — высота, проведённая к стороне AB, DE — перпендикуляр, проведённый из точки D к стороне AC. Чему равна длина AE? 1) 8 см; 2) 6 см; 3) 5 см; 4) 7,5 см.

Так как в прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(A=30^\circ\), то \(BC=\frac{AC}{\sqrt3}=\frac{10}{\sqrt3}\).

Высота \(CD\) к гипотенузе образует треугольник \(ACD\), подобный треугольнику \(ABC\). Поэтому угол \(ACD=\angle B=60^\circ\), а \(\angle ACD\) и \(\angle ADE\) дополняют друг друга до \(90^\circ\). Следовательно, \(\angle ADE=30^\circ\), и треугольник \(ADE\) является треугольником с углами \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\).

В нём \(AD\) — гипотенуза, а \(AE\) — катет, прилежащий к углу \(A=30^\circ\). Из подобия \(AD=\frac{AC\cdot AB}{AB}=\frac{AC^2}{AB}\), причём \(AB=\frac{AC}{\cos30^\circ}=\frac{20}{\sqrt3}\). Поэтому \(AD=5\sqrt3\). Тогда \(AE=AD\cos30^\circ=5\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5\) см.

Ответ: 4) 7,5 см.