A3. В равнобедренной трапеции ABCD высота, опущенная из вершины B на большее основание AD, равна 4 см и делит AD на отрезки, равные 5 см и 9 см. Площадь трапеции равна: 1) 36 см²; 2) 72 см²; 3) 18 см²; 4) 38 см².

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD — большее основание. Высота, опущенная из вершины B на AD, равна 4 см. Обозначим точку пересечения высоты с основанием AD как H. Тогда BH = 4 см.

Высота BH делит основание AD на отрезки AH и HD. По условию, эти отрезки равны 5 см и 9 см. Так как трапеция равнобедренная, то из вершины A на основание AD также можно опустить высоту, скажем, AK, и она будет равна BH. Отрезок HD будет равен отрезку, отсекаемому от большего основания меньшим основанием (BC), то есть HD = BC. В равнобедренной трапеции также выполняется равенство отрезков от вершин оснований к точкам пересечения высот, то есть AH = DK, где K — основание высоты, опущенной из C на AD. Следовательно, AD = AH + HD.

В условии сказано, что высота из вершины B делит AD на отрезки 5 см и 9 см. Так как AD — большее основание, то отрезки, на которые оно делится высотой, могут быть такими:

Случай 1: AH = 5 см, HD = 9 см. В этом случае, так как трапеция равнобедренная, то BC = HD = 9 см. Однако, это противоречит тому, что AD — большее основание, так как AD = AH + HD = 5 + 9 = 14 см, а BC = 9 см. Здесь HD является частью AD, а не основанием BC. В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из B на AD, то отрезок, который образуется от вершины A до основания высоты (AH), равен полуразности оснований: \( AH = \frac{AD - BC}{2} \).

Правильное понимание: В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из вершины B на большее основание AD, то это основание делится на три отрезка: отрезок от вершины A до основания высоты (AH), длина меньшего основания (BC) и отрезок от основания высоты до вершины D. Однако, в данном случае, задача указывает, что высота делит именно само основание AD на два отрезка. Это возможно, если высота опущена из вершины на боковую сторону, или если это другая интерпретация.

Переосмыслим условие: Высота из вершины B на большее основание AD равна 4 см. Это означает, что BH = 4 см, где H лежит на AD. В равнобедренной трапеции, если провести высоты из B и C к основанию AD, то на основании AD образуются три отрезка. Отрезки от концов большего основания до оснований высот равны: AH = KD. То есть, AD = AH + BC + KD = 2*AH + BC. Если высота BH делит AD на отрезки 5 см и 9 см, то это означает, что либо AH = 5 см и HD = 9 см, либо AH = 9 см и HD = 5 см. Так как AD - большее основание, то точка H должна быть расположена так, чтобы отрезок BC был меньше AD. В равнобедренной трапеции, если опустить высоту BH, то отрезок AH = \(\frac{AD-BC}{2}\).

Из условия следует, что высота BH делит основание AD на отрезки AH = 5 см и HD = 9 см.

В равнобедренной трапеции: AH = (AD - BC) / 2. Так как BH — высота, то \( \triangle ABH \) — прямоугольный треугольник.

Из того, что высота BH делит основание AD на отрезки 5 см и 9 см, следует, что либо:

1) AH = 5 см, HD = 9 см. Тогда AD = AH + HD = 5 + 9 = 14 см.

2) AH = 9 см, HD = 5 см. Тогда AD = AH + HD = 9 + 5 = 14 см.

В равнобедренной трапеции, отрезок от вершины большего основания до основания высоты равен полуразности оснований: \( AH = \frac{AD - BC}{2} \).

Если AH = 5 см, то \( 5 = \frac{14 - BC}{2} \) \(\Rightarrow\) \( 10 = 14 - BC \) \(\Rightarrow\) \( BC = 4 \) см.

Если AH = 9 см, то \( 9 = \frac{14 - BC}{2} \) \(\Rightarrow\) \( 18 = 14 - BC \) \(\Rightarrow\) \( BC = -4 \) см, что невозможно.

Следовательно, меньшее основание BC = 4 см, а большее основание AD = 14 см. Высота трапеции h = BH = 4 см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания трапеции, \( h \) — высота.

\( S = \frac{14 + 4}{2} \cdot 4 = \frac{18}{2} \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36 \) см².

Проверим второй вариант: Если высота BH делит AD на отрезки 9 см и 5 см, это означает, что H лежит между A и D. В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из B на AD, то она отсекает отрезок AH, равный \(\frac{AD-BC}{2}\). Если AD = 9 и BC = 5, то AH = \(\frac{9-5}{2}\) = 2. Тогда точка H не совпадает с делением на 9 и 5.

Рассмотрим другой вариант: Высота из вершины B на большее основание AD равна 4 см. Основание AD делится на отрезки 5 см и 9 см. В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из B на AD, то она отсекает отрезок AH, где \( AH = \frac{AD-BC}{2}\). Меньшее основание BC = 4 см. Высота BH = 4 см. На AD точка H. Отрезки, на которые делится AD, это AH и HD. Если AH = 5, то HD = AD - AH = 14 - 5 = 9. Это соответствует условию.

Наиболее вероятная трактовка условия: Отрезки 5 см и 9 см — это AH и HD. То есть AD = 5 + 9 = 14 см. В равнобедренной трапеции, AH = (AD - BC) / 2. Если AH = 5, то 5 = (14 - BC) / 2 => 10 = 14 - BC => BC = 4 см. Высота h = 4 см. Площадь = \(\frac{14+4}{2} \times 4 = \frac{18}{2} \times 4 = 9 \times 4 = 36\) см².

Если AH = 9, то 9 = (14 - BC) / 2 => 18 = 14 - BC => BC = -4, что невозможно.

Следовательно, основания трапеции равны 14 см и 4 см, высота равна 4 см.

Площадь трапеции: \( S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{14 + 4}{2} \cdot 4 = \frac{18}{2} \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36 \) см².

Ответ: 1) 36 см².