А3. В трапеции ABCD с основаниями BC = 3a и AD = 7a точки N и M — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Найдите величину |\(\overrightarrow{AN}\) + \(\overrightarrow{BC}\) + \(\overrightarrow{MD}\)|. 1) 5a; 2) 4a; 3) 6a; 4) 10a.

Так как N — середина AB, а M — середина CD, имеем \(\overrightarrow{AN}=\frac12\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{MD}=\frac12\overrightarrow{CD}\).

Тогда

\[\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MD}=\frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\frac12\overrightarrow{CD}.\]

Поскольку \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\), выражение равно \(\frac12(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})\). Основания трапеции направлены одинаково, поэтому величина этой суммы равна \(\frac12(7a+3a)=5a\).

Ответ: 1) 5a.