Контрольные задания > A4. ABCD – квадрат со стороной 4 см. На сторонах AB и CD отложены отрезки AM и KC так, что AM = RC = 3 см. Найдите периметр четырехугольника MBKD. 1) 14 см; 2) 12 см; 3) 10 см; 4) 16 см.
Вопрос:

A4. ABCD – квадрат со стороной 4 см. На сторонах AB и CD отложены отрезки AM и KC так, что AM = RC = 3 см. Найдите периметр четырехугольника MBKD. 1) 14 см; 2) 12 см; 3) 10 см; 4) 16 см.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Задание A4. Периметр четырехугольника

Дано:

  • Квадрат ABCD со стороной 4 см.
  • На сторонах AB и CD отложены отрезки AM и KC.
  • AM = RC = 3 см.

Найти: периметр четырехугольника MBKD.

Решение:

  1. Так как ABCD — квадрат со стороной 4 см, то AB = BC = CD = DA = 4 см.
  2. На стороне AB отложен отрезок AM = 3 см. Тогда MB = AB - AM = 4 - 3 = 1 см.
  3. На стороне CD отложен отрезок KC = 3 см. Тогда KD = CD - KC = 4 - 3 = 1 см.
  4. У четырехугольника MBKD стороны MB = 1 см и KD = 1 см.
  5. Также, так как ABCD — квадрат, стороны AB и CD параллельны и равны.
  6. Рассмотрим стороны MK и BD.
  7. Вектор BD является диагональю квадрата.
  8. Из условия AM = KC = 3 см, и AB = CD = 4 см.
  9. Рассмотрим треугольники ADM и CBK.
  10. AD = 4, AM = 3, угол A = 90°. DM = AD - AM = 4 - 3 = 1 см.
  11. CB = 4, CK = 3, угол C = 90°. BK = BC - CK = 4 - 3 = 1 см.
  12. Ой, я перепутал отрезки. AM на AB, KC на CD.
  13. MB = AB - AM = 4 - 3 = 1 см.
  14. KD = CD - KC = 4 - 3 = 1 см.
  15. Теперь рассмотрим стороны MK и BD.
  16. В четырехугольнике MBKD стороны MB = 1 см, KD = 1 см.
  17. Нужно найти стороны MK и BD.
  18. BD — диагональ квадрата ABCD. По теореме Пифагора: BD^2 = AB^2 + AD^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32. BD = \( \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \) см.
  19. Теперь найдем MK.
  20. Рассмотрим треугольник ADM. DM = AD - AM = 4 - 3 = 1 см.
  21. Рассмотрим треугольник BCK. BK = BC - KC = 4 - 3 = 1 см.
  22. В четырехугольнике AMKC, AM || KC (т.к. AB || CD) и AM = KC = 3 см. Значит, AMKC — параллелограмм, а так как углы при A и D прямые, то AMKC — прямоугольник. MK = AC = \( 4\sqrt{2} \) см.
  23. Нет, это неверно. AM на AB, KC на CD.
  24. Четырехугольник MBKD. MB = 1, KD = 1.
  25. Нужно найти MK и BD. BD — диагональ квадрата, BD = \( 4\sqrt{2} \).
  26. Чтобы найти MK, рассмотрим трапецию AMKD. AM=3, KD=1, AD=4. Это не так.
  27. Рассмотрим трапецию ABCM. AB=4, BC=4, AM=3.
  28. Рассмотрим трапецию MBKC. MB=1, BC=4, KC=3.
  29. Рассмотрим трапецию AMKD. AM=3, AD=4, KD=1.
  30. Рассмотрим трапецию MBCK. MB=1, BC=4, CK=3.
  31. В четырехугольнике MBKD: MB = 1 см, KD = 1 см.
  32. Стороны MK и BD.
  33. BD — диагональ квадрата, BD = \( 4\sqrt{2} \) см.
  34. Рассмотрим треугольник AM D. AM = 3, AD = 4. \( MD = \sqrt{AM^2 + AD^2} \) — это если бы угол M был прямой, что не так.
  35. Рассмотрим координаты: A=(0,4), B=(4,4), C=(4,0), D=(0,0).
  36. M на AB, AM=3. M=(3,4).
  37. K на CD, KC=3. K=(1,0).
  38. MBKD.
  39. MB = sqrt((4-3)^2 + (4-4)^2) = sqrt(1^2 + 0^2) = 1.
  40. BK. K=(1,0), B=(4,4). BK = sqrt((4-1)^2 + (4-0)^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9+16) = sqrt(25) = 5.
  41. KD = sqrt((1-0)^2 + (0-0)^2) = sqrt(1^2) = 1.
  42. DM. M=(3,4), D=(0,0). DM = sqrt((3-0)^2 + (4-0)^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9+16) = sqrt(25) = 5.
  43. Периметр MBKD = MB + BK + KD + DM = 1 + 5 + 1 + 5 = 12 см.
  44. Проверим другой вариант. M на AB, AM=3. M=(0,1) если D=(0,0) A=(0,4) B=(4,4) C=(4,0).
  45. A=(0,4), B=(4,4), C=(4,0), D=(0,0). Сторона 4.
  46. M на AB, AM=3. M=(3,4).
  47. K на CD, KC=3. CD идет от (4,0) до (0,0). K=(1,0).
  48. MB = sqrt((4-3)^2 + (4-4)^2) = 1.
  49. BK = sqrt((4-1)^2 + (4-0)^2) = sqrt(3^2+4^2)=5.
  50. KD = sqrt((1-0)^2 + (0-0)^2) = 1.
  51. DM = sqrt((3-0)^2 + (4-0)^2) = sqrt(3^2+4^2)=5.
  52. Периметр = 1+5+1+5 = 12.
  53. Это все еще неверно.
  54. ABCD — квадрат со стороной 4 см.
  55. M лежит на AB, AM = 3 см. Значит, MB = AB - AM = 4 - 3 = 1 см.
  56. K лежит на CD, KC = 3 см. Значит, KD = CD - KC = 4 - 3 = 1 см.
  57. Нужно найти периметр MBKD. Стороны MB, BK, KD, DM.
  58. MB = 1 см, KD = 1 см.
  59. BK и DM — это диагонали в прямоугольных трапециях.
  60. Рассмотрим трапецию MBCK. MB = 1, BC = 4, KC = 3.
  61. Проведем высоту из M на BC. Или из K на BC.
  62. Рассмотрим трапецию AMKD. AM = 3, AD = 4, KD = 1.
  63. В трапеции AMKD, проведем высоту из M на AD.
  64. Рассмотрим треугольник ADM. AD = 4, AM = 3. Угол A = 90°. DM — гипотенуза. DM^2 = AD^2 + AM^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25. DM = 5 см.
  65. Рассмотрим треугольник BCK. BC = 4, KC = 3. Угол C = 90°. BK — гипотенуза. BK^2 = BC^2 + KC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25. BK = 5 см.
  66. Периметр MBKD = MB + BK + KD + DM = 1 + 5 + 1 + 5 = 12 см.
  67. Условие: AM на стороне AB, KC на стороне CD.
  68. MB = 1. KD = 1.
  69. DM и BK — это диагонали соответствующих трапеций.
  70. Трапеция AMKD: AM=3, AD=4, KD=1, угол A = 90°, угол D = 90°. Это не так.
  71. A, B, C, D — вершины квадрата. AB, BC, CD, DA — стороны.
  72. M лежит на стороне AB. AM = 3, MB = 1.
  73. K лежит на стороне CD. KC = 3, KD = 1.
  74. MBKD — четырехугольник.
  75. Стороны MB = 1, KD = 1.
  76. Нужно найти стороны BK и DM.
  77. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADM. Угол A = 90°. AD = 4, AM = 3. DM^2 = AD^2 + AM^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25. DM = 5.
  78. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCK. Угол C = 90°. BC = 4, KC = 3. BK^2 = BC^2 + KC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25. BK = 5.
  79. Периметр MBKD = MB + BK + KD + DM = 1 + 5 + 1 + 5 = 12 см.

Ответ: 12 см.

Задание А5. Длина основания трапеции

Дано:

  • Трапеция ABCD.
  • Основание BC перпендикулярно боковой стороне AB.
  • Угол D = 60°.
  • Диагональ AC перпендикулярна стороне CD.
  • CD = 8 см.

Найти: BC.

Решение:

  1. Так как BC перпендикулярно AB, угол B = 90°.
  2. Так как AC перпендикулярно CD, угол ACD = 90°.
  3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Угол D = 60°, угол ACD = 90°.
  4. Тогда угол CAD = 180° - 90° - 60° = 30°.
  5. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы.
  6. CD — гипотенуза в этом треугольнике? Нет, CD — катет. AC — катет. AD — гипотенуза.
  7. В прямоугольном треугольнике ACD: \( \tan(D) = \frac{AC}{CD} \).
  8. \( \tan(60^°) = \frac{AC}{8} \).
  9. \( AC = 8 \tan(60^°) = 8 · \sqrt{3} = 8\sqrt{3} \) см.
  10. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Угол B = 90°.
  11. BC — катет, AB — катет, AC — гипотенуза.
  12. По теореме Пифагора: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \).
  13. \( AB^2 + BC^2 = (8\sqrt{3})^2 = 64 · 3 = 192 \).
  14. Нужно найти AB или BC.
  15. Рассмотрим угол CAD = 30°.
  16. Угол BAC = ?
  17. Угол DAB = ?
  18. В трапеции ABCD, BC || AD (по определению трапеции, если BC и AD основания).
  19. Но BC перпендикулярно AB, значит AB — высота.
  20. Если AB — высота, то AB || CD? Нет.
  21. BC || AD. AB перпендикулярно BC => AB перпендикулярно AD. Тогда ABCD — прямоугольник.
  22. Но угол D = 60°, значит не прямоугольник.
  23. Значит, BC и AD — основания. AB и CD — боковые стороны.
  24. BC перпендикулярно AB => угол B = 90°.
  25. AC перпендикулярно CD => угол ACD = 90°.
  26. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Угол D = 60°, угол ACD = 90°, CD = 8.
  27. \( \tan(60^°) = \frac{AC}{CD} \) => \( AC = CD \tan(60^°) = 8 · \sqrt{3} = 8\sqrt{3} \) см.
  28. \( \tan(30^°) = \frac{CD}{AD} \) ? Нет. \( \tan(30^°) = \frac{CD}{AD} \) - это если бы угол C = 90°.
  29. В треугольнике ACD: \( \tan(D) = \frac{AC}{CD} \) => \( AC = 8 \tan(60^°) = 8\sqrt{3} \).
  30. \( \tan(CAD) = \frac{CD}{AC} = \frac{8}{8\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Угол CAD = 30°.
  31. \( AD = \frac{CD}{\cos(60^°)} = \frac{8}{1/2} = 16 \) см.
  32. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Угол B = 90°. AC — гипотенуза.
  33. \( AB^2 + BC^2 = AC^2 = (8\sqrt{3})^2 = 192 \).
  34. Нужно найти BC.
  35. BC || AD. AB — боковая сторона, перпендикулярная основанию BC.
  36. Значит, AB — высота трапеции.
  37. Угол ABC = 90°.
  38. Рассмотрим углы трапеции: \( \text{угол } B = 90^° \). \( \text{угол } C + \text{угол } D = 180^° \) если AB || CD.
  39. Но AB перпендикулярно BC, а AC перпендикулярно CD.
  40. ABCD — трапеция, BC || AD.
  41. AB перпендикулярно BC. Значит, AB — высота. Угол B = 90°.
  42. AC перпендикулярно CD. Угол ACD = 90°.
  43. CD = 8. Угол D = 60°.
  44. В прямоугольном треугольнике ACD: \( AC = CD \tan(60^°) = 8\sqrt{3} \).
  45. AB — высота трапеции.
  46. BC — нижнее основание. AD — верхнее основание? Нет, BC и AD — основания.
  47. BC || AD. AB перпендикулярно BC => AB перпендикулярно AD. Угол A = 90°.
  48. Тогда ABCD — прямоугольная трапеция.
  49. Угол B = 90°, Угол A = 90°.
  50. Но дан угол D = 60°. Значит, ABCD не прямоугольная трапеция.
  51. BC || AD. AB перпендикулярно BC. Угол B = 90°.
  52. AC перпендикулярно CD. Угол ACD = 90°. CD = 8, Угол D = 60°.
  53. Из прямоугольного треугольника ACD: \( AC = CD \tan(60^°) = 8\sqrt{3} \). \( AD = \frac{CD}{\cos(60^°)} = \frac{8}{1/2} = 16 \).
  54. Рассмотрим трапецию ABCD. BC || AD. AB перпендикулярно BC.
  55. Проведем высоту из C к AD. Пусть это будет CE. Тогда CE = AB.
  56. Проведем высоту из B к AD. Пусть это будет BF. Тогда BF = AB.
  57. Угол ABC = 90°.
  58. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. AC — гипотенуза.
  59. \( AB^2 + BC^2 = AC^2 = (8\sqrt{3})^2 = 192 \).
  60. Нужно найти BC.
  61. Построим вспомогательную линию.
  62. Пусть AB = h. BC = x. AD = y.
  63. \( h^2 + x^2 = 192 \).
  64. Из треугольника ACD: AC = \( 8\sqrt{3} \), AD = 16.
  65. В трапеции ABCD, BC || AD. AB перпендикулярно BC. Угол B = 90°.
  66. AC перпендикулярно CD. Угол ACD = 90°. CD = 8. Угол D = 60°.
  67. Проведем из B и C высоты к AD. BF и CE. BF = CE = AB.
  68. В прямоугольном треугольнике ABC: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \).
  69. \( AC = 8\sqrt{3} \). \( AB^2 + BC^2 = 192 \).
  70. В треугольнике ACD: \( AC = 8\sqrt{3} \), CD = 8, угол D = 60°, угол ACD = 90°.
  71. \( \tan(60^°) = \frac{AC}{CD} \) => \( AC = 8\tan(60^°) = 8··· \sqrt{3} \).
  72. AD = 16.
  73. Так как BC || AD, то угол BCD + угол D = 180° (если CD || AB, что не так).
  74. Рассмотрим углы. Угол B = 90°. Угол ACD = 90°. Угол D = 60°.
  75. Пусть BC = x.
  76. Проведем прямую через C параллельно AB, до пересечения с AD. Пусть это будет точка E.
  77. Тогда ABCE — прямоугольник. AB = CE, BC = AE = x.
  78. Угол CED = 90°.
  79. В треугольнике CDE: Угол D = 60°. Угол CED = 90°.
  80. CE = AB. CD = 8.
  81. \( \tan(D) = \frac{CE}{ED} \) => \( \tan(60^°) = \frac{CE}{ED} \) => \( CE = ED \tan(60^°) \).
  82. \( \frac{AC}{CD} = \frac{8········ \sqrt{3}}{8} = \sqrt{3} \). AC = \( 8\sqrt{3} \).
  83. \( \frac{AB}{BC} = ? \)
  84. \( AB^2 + BC^2 = 192 \).
  85. Из прямоугольного треугольника ACD: AC = \( 8······ \sqrt{3} \).
  86. Пусть AB = x. Тогда \( x^2 + BC^2 = 192 \).
  87. В трапеции ABCD, BC || AD. AB перпендикулярно BC.
  88. Проведем из C высоту CE к AD. CE = AB. ED = AD - AE.
  89. AE = BC. ED = AD - BC.
  90. В прямоугольном треугольнике CDE: \( CE^2 + ED^2 = CD^2 \).
  91. \( AB^2 + (AD - BC)^2 = 8^2 = 64 \).
  92. \( AB^2 + (16 - BC)^2 = 64 \).
  93. У нас есть система:
  94. 1) \( AB^2 + BC^2 = 192 \)
  95. 2) \( AB^2 + (16 - BC)^2 = 64 \)
  96. Вычтем второе из первого:
  97. \( BC^2 - (16 - BC)^2 = 192 - 64 = 128 \).
  98. \( BC^2 - (256 - 32 BC + BC^2) = 128 \).
  99. \( BC^2 - 256 + 32 BC - BC^2 = 128 \).
  100. \( 32 BC = 128 + 256 = 384 \).
  101. \( BC = \frac{384}{32} = 12 \) см.

Ответ: 12 см.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю