А4. Найдите сторону МР четырехугольника МРКД, описанного около окружности, если РК = 6, МД = 9, а КД в 2 раза меньше МР. Варианты ответов: 1) 18 2) 12 3) 10 4) 5

Решение:

Четырехугольник МРКД описан около окружности. Это значит, что суммы противоположных сторон равны (свойство описанного четырёхугольника):

\( МР + КД = МК + РД \)

По условию задачи:

• \( РК = 6 \)
• \( МД = 9 \)
• \( КД = \frac{1}{2} МР \)

Из свойства описанного четырёхугольника следует:

\( МР + КД = МД + РК \)

Подставим известные значения и выражение для КД:

\( МР + \frac{1}{2} МР = 9 + 6 \)

\( \frac{3}{2} МР = 15 \)

\( МР = 15 \cdot \frac{2}{3} \)

\( МР = 10 \)

Проверим варианты ответов:

1. 18: \( КД = 18/2 = 9 \). \( 18+9=27 \), \( 9+6=15 \). Не подходит.
2. 12: \( КД = 12/2 = 6 \). \( 12+6=18 \), \( 9+6=15 \). Не подходит.
3. 10: \( КД = 10/2 = 5 \). \( 10+5=15 \), \( 9+6=15 \). Подходит.
4. 5: \( КД = 5/2 = 2.5 \). \( 5+2.5=7.5 \), \( 9+6=15 \). Не подходит.

Ответ: 10