A5. Графики функций y = 2x - 2 и y = 1/x

Решение:

Для определения, пересекаются ли графики функций \( y = 2x - 2 \) и \( y = \frac{1}{x} \), приравняем их:

\( 2x - 2 = \frac{1}{x} \)

Умножим обе стороны на \( x \) (при \( x \neq 0 \)):

\( x(2x - 2) = 1 \)

\( 2x^2 - 2x = 1 \)

\( 2x^2 - 2x - 1 = 0 \)

Найдем дискриминант квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) по формуле \( D = b^2 - 4ac \):

\( D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12 \)

Так как \( D = 12 > 0 \), уравнение имеет два действительных корня. Следовательно, графики функций пересекаются.

Найдем значения \( x \) для точек пересечения:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} \)

\( x_1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \) (положительное число)

\( x_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \) (отрицательное число)

Найдем соответствующие значения \( y \) для \( y = \frac{1}{x} \):

Для \( x_1 \): \( y_1 = \frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{1 + \sqrt{3}} = \frac{2(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{2(1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{2(1 - \sqrt{3})}{-2} = \sqrt{3} - 1 \) (положительное число)

Для \( x_2 \): \( y_2 = \frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{1 - \sqrt{3}} = \frac{2(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{2(1 + \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{2(1 + \sqrt{3})}{-2} = -(1 + \sqrt{3}) \) (отрицательное число)

Таким образом, точки пересечения имеют координаты:

1. \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \) (положительное) и \( y_1 = \sqrt{3} - 1 \) (положительное) - I координатная четверть.

2. \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \) (отрицательное) и \( y_2 = -(1 + \sqrt{3}) \) (отрицательное) - III координатная четверть.

Ответ: 2) пересекаются в I и III координатных четвертях