А5. У исполнителя Квадратор две команды, которым присвоены номера: 1. вычти 3 2. возведи в квадрат Первая из них уменьшает число на экране на 3, вторая возводит его во вторую степень. Составьте алгоритм получения из числа 4 числа 49, содержащий не более 5 команд. В ответе запишите только номера команд. (Например, 12211 – это алгоритм: вычти 3, возведи в квадрат, возведи в квадрат, вычти 3, вычти 3, который преобразует число 6 в 75.) Если таких алгоритмов более одного, то запишите любой из них.

Решение:

Нам нужно получить число 49 из числа 4, используя команды "вычти 3" (номер 1) и "возведи в квадрат" (номер 2), не более чем за 5 команд.

Попробуем последовательно применять команды:

1. Начинаем с 4.
2. Применим команду "возведи в квадрат" (2): \( 4^2 = 16 \).
3. Применим команду "возведи в квадрат" (2): \( 16^2 = 256 \). Это слишком много.

Попробуем другой порядок:

1. Начинаем с 4.
2. Применим команду "вычти 3" (1): \( 4 - 3 = 1 \).
3. Применим команду "возведи в квадрат" (2): \( 1^2 = 1 \).
4. Применим команду "возведи в квадрат" (2): \( 1^2 = 1 \).
5. Применим команду "возведи в квадрат" (2): \( 1^2 = 1 \).

Попробуем еще раз:

1. Начинаем с 4.
2. Применим команду "возведи в квадрат" (2): \( 4^2 = 16 \).
3. Применим команду "вычти 3" (1): \( 16 - 3 = 13 \).
4. Применим команду "возведи в квадрат" (2): \( 13^2 = 169 \). Это тоже слишком много.

Давайте подумаем, как получить 49. Мы знаем, что \( 7^2 = 49 \).

Значит, нам нужно получить 7, а затем возвести его в квадрат.

Как получить 7 из 4, используя "вычти 3" и "возведи в квадрат"? Это невозможно, так как \( 4 - 3 = 1 \) и \( 4^2 = 16 \).

Давайте проверим, что если мы получим 7 другим способом, например, из другого числа.

Рассмотрим получение 49.

Если у нас есть 7, то \( 7^2 = 49 \). Команда "возведи в квадрат" — это команда 2.

Как получить 7? Если мы применим "вычти 3" один раз, получим \( 4-3=1 \). Потом \( 1^2=1 \), \( 1-3=-2 \), \( (-2)^2=4 \).

Попробуем получить 7:

Если мы имеем число \( x \) такое, что \( x-3=7 \), то \( x=10 \).

Если мы имеем число \( x \) такое, что \( x^2=7 \), такого целого \( x \) нет.

Давайте попробуем получить 49 в 5 шагов.

Начнем с 4.

1. 4
2. \(4-3 = 1\) (команда 1)
3. \(1^2 = 1\) (команда 2)
4. \(1^2 = 1\) (команда 2)
5. \(1^2 = 1\) (команда 2)

Не получается 49.

Давайте начнем с 4.

1. 4
2. \(4-3 = 1\) (команда 1)
3. \(1+3 = 4\) - нет такой команды

Нам нужно получить 7, а затем возвести в квадрат.

Если мы начнем с 4, и применим команды:

4 --(1)--> 1 --(2)--> 1 --(2)--> 1 --(2)--> 1

4 --(2)--> 16 --(1)--> 13 --(2)--> 169

4 --(2)--> 16 --(2)--> 256

Посмотрим на обратный ход. Чтобы получить 49, нужно извлечь корень или вычесть 3.

Если последнее действие - "возведи в квадрат", то предыдущее число было \( \sqrt{49} = 7 \).

Как получить 7 из 4 за 4 команды?

4 --(1)--> 1 --(2)--> 1 --(2)--> 1 --(2)--> 1.

4 --(2)--> 16 --(1)--> 13.

Может быть, нам нужно получить 7, а потом возвести в квадрат?

4 --(1)--> 1 --(2)--> 1

4 --(2)--> 16

Давайте посмотрим на пример: 12211 -> 6 в 75.

6 --(1)--> 3 --(2)--> 9 --(2)--> 81 --(1)--> 78 --(1)--> 75. Это 5 команд.

Нам нужно получить 49 из 4 за 5 команд.

Значит, у нас будет 2 команды "возведи в квадрат" (2) и "вычти 3" (1).

Чтобы получить 49, нам нужно получить 7, а затем возвести в квадрат (2).

Как получить 7 из 4 за 4 команды?

4 --(1)--> 1 --(2)--> 1 --(2)--> 1 --(2)--> 1

4 --(2)--> 16 --(1)--> 13

Может быть, ответ не 7 в квадрате?

Давайте попробуем получить 49.

4 --(2)--> 16 --(2)--> 256

4 --(1)--> 1 --(2)--> 1

4 --(2)--> 16 --(1)--> 13

Рассмотрим алгоритм: 212. 4 --(2)--> 16 --(1)--> 13 --(2)--> 169. Не подходит.

Рассмотрим алгоритм: 122. 4 --(1)--> 1 --(2)--> 1 --(2)--> 1. Не подходит.

Алгоритм: 21. 4 --(2)--> 16 --(1)--> 13. Тоже не 49.

Если последнее действие - "вычти 3", то предыдущее число было 52. \( 52 \) из 4 за 4 команды?

Если последнее действие - "возведи в квадрат", то предыдущее число было 7. \( 7 \) из 4 за 4 команды?

4 --(1)--> 1 --(2)--> 1 --(2)--> 1

4 --(2)--> 16 --(1)--> 13

Попробуем получить 7:

4 --(1)--> 1 --(2)--> 1

4 --(2)--> 16. Нам нужно получить 7.

Как получить 7?

Если мы имеем 10, то \( 10 - 3 = 7 \). А 10 из 4 за 3 команды?

4 --(2)--> 16 --(1)--> 13

4 --(1)--> 1 --(2)--> 1

Попробуем получить 7:

4 --(1)--> 1 --(2)--> 1

4 --(2)--> 16

Давайте подумаем, если мы хотим получить 7, а потом возвести в квадрат.

4 --(1)--> 1 --(2)--> 1 --(2)--> 1 --(2)--> 1.

4 --(2)--> 16 --(1)--> 13.

Давайте попробуем получить 7:

4 --(2)--> 16 --(1)--> 13 --(1)--> 10 --(1)--> 7.

Это 4 команды. Значит, алгоритм будет 21112.

4 --(2)--> 16 --(1)--> 13 --(1)--> 10 --(1)--> 7 --(2)--> 49.

Этот алгоритм содержит 5 команд: 2, 1, 1, 1, 2.

Проверим:

1. 4
2. \( 4^2 = 16 \) (команда 2)
3. \( 16 - 3 = 13 \) (команда 1)
4. \( 13 - 3 = 10 \) (команда 1)
5. \( 10 - 3 = 7 \) (команда 1)
6. \( 7^2 = 49 \) (команда 2)

Таким образом, алгоритм 21112 позволяет получить 49 из 4 за 5 команд.

Ответ: 21112