A6. Прямые AB, CD и EF пересекаются в точке O. Известно, что ∠BOD = 80°, ∠FOD : ∠BOE = 2 : 3. Один из образованных углов прямой, два другие относятся как 4 : 5. Найдите наименьший из углов: AOF, AOC и COE.

Дано:

• Прямые AB, CD, EF пересекаются в точке O.
• ∠BOD = 80°
• ∠FOD : ∠BOE = 2 : 3
• ∠AOC = 90°
• ∠AOF : ∠COE = 4 : 5

Решение:

1. Находим ∠FOD и ∠BOE: ∠FOD и ∠BOE - смежные углы, их сумма равна 180°. Пусть ∠FOD = 2x, тогда ∠BOE = 3x.
2. Решаем уравнение: 2x + 3x = 180° → 5x = 180° → x = 36°.
3. Вычисляем углы: ∠FOD = 2 * 36° = 72°; ∠BOE = 3 * 36° = 108°.
4. Находим ∠AOF и ∠COE: ∠AOF и ∠COE - вертикальные углы. ∠AOF + ∠AOC = ∠FOC. ∠FOC = 180° (развернутый угол).
5. ∠AOF + ∠COE = 180°. Пусть ∠AOF = 4y, тогда ∠COE = 5y.
6. Решаем уравнение: 4y + 5y = 180° → 9y = 180° → y = 20°.
7. Вычисляем углы: ∠AOF = 4 * 20° = 80°; ∠COE = 5 * 20° = 100°.
8. Сравниваем углы: ∠AOF = 80°, ∠AOC = 90° (из условия), ∠COE = 100°.
9. Наименьший угол: 80°.

Ответ: 1) 80°