А6. Углы выпуклого четырёхугольника MNKP удовлетворяют условиям ∠M + ∠K = 270° и ∠N - ∠P = 10°. Градусная мера ∠P равна: 1) 20°; 2) 50°; 3) 45°; 4) 90°; 5) 40°.

Решение:

Сумма углов четырёхугольника равна 360°. В данном четырёхугольнике MNKP:

\( \angle M + \angle N + \angle P + \angle K = 360^{\circ} \)

Нам дано, что \( \angle M + \angle K = 270^{\circ} \). Подставим это значение в основное уравнение:

\( 270^{\circ} + \angle N + \angle P = 360^{\circ} \)

Выразим сумму \( \angle N + \angle P \):

\( \angle N + \angle P = 360^{\circ} - 270^{\circ} = 90^{\circ} \)

Также нам дано, что \( \angle N - \angle P = 10^{\circ} \). Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

1. \( \angle N + \angle P = 90^{\circ} \)
2. \( \angle N - \angle P = 10^{\circ} \)

Сложим оба уравнения:

\( (\angle N + \angle P) + (\angle N - \angle P) = 90^{\circ} + 10^{\circ} \)

\( 2\angle N = 100^{\circ} \)

\( \angle N = 50^{\circ} \)

Теперь подставим значение \( \angle N \) в первое уравнение, чтобы найти \( \angle P \):

\( 50^{\circ} + \angle P = 90^{\circ} \)

\( \angle P = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} \)

Проверим по второму уравнению: \( 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ} \), что верно.

Ответ: 40°.