A9. В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) площадь полной поверхности равна 12. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(BA_1D\) (см. рис.). Варианты: 1) \(\frac{2}{3}\); 2) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\); 3) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\); 4) 1; 5) \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\).

Пусть ребро куба равно \(a\). Из условия \(6a^2=12\), поэтому \(a=\sqrt{2}\).

Каждая сторона треугольника \(BA_1D\) — диагональ грани куба, значит её длина равна \(a\sqrt{2}=2\). Следовательно, треугольник равносторонний.

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника со стороной \(s\) равен \(\frac{s}{\sqrt{3}}\). Поэтому \(R=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\).

Ответ: вариант 5.