A_{7}^{4} A_{6}^{3} \over A_{5}^{3}

Здравствуйте! Давайте решим данное выражение, используя формулу для числа размещений:

$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$, где n - общее количество элементов, k - количество выбираемых элементов.

В нашем случае:

1. $$A_7^4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$$
2. $$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120$$
3. $$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$$

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$$\frac{A_7^4 \cdot A_6^3}{A_5^3} = \frac{840 \cdot 120}{60} = \frac{100800}{60} = 1680$$

Ответ: 1680