3 A AC=30. LBCA= 5 Кайти: 7=7 २

Разбираемся:

Пошаговое решение:

• Обозначим сторону ромба за \( a \), а радиус вписанной окружности за \( r \).
• Площадь ромба можно выразить как произведение стороны на высоту, то есть \( S = a \cdot h \), где \( h \) — высота ромба, которая равна диаметру вписанной окружности, то есть \( h = 2r \).
• Также площадь ромба можно выразить через сторону и синус угла между сторонами: \( S = a^2 \cdot \sin(\angle BCA) \).
• Известно, что \( AC = 30 \), и так как в ромбе диагонали точкой пересечения делятся пополам, то сторона ромба \( a = 30 \).
• Также дано \( tg(\angle BCA) = \frac{4}{3} \). Чтобы найти синус этого угла, воспользуемся тригонометрическим тождеством: \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \).
• Известно, что \( tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \), значит \( \cos(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{tg(\alpha)} \). Подставим это в основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2(\alpha) + (\frac{\sin(\alpha)}{tg(\alpha)})^2 = 1 \).
• Выразим \( \sin(\alpha) \): \( \sin^2(\alpha)(1 + \frac{1}{tg^2(\alpha)}) = 1 \); \( \sin^2(\alpha) = \frac{1}{1 + \frac{1}{tg^2(\alpha)}} \); \( \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{1}{tg^2(\alpha)}}} \).
• Подставим значение тангенса: \( \sin(\angle BCA) = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{1}{(\frac{4}{3})^2}}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{9}{16}}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{25}{16}}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \).
• Теперь можем выразить площадь ромба как \( S = a^2 \cdot \sin(\angle BCA) = 30^2 \cdot \frac{4}{5} = 900 \cdot \frac{4}{5} = 720 \).
• С другой стороны, \( S = a \cdot 2r \), значит \( 720 = 30 \cdot 2r \); \( 720 = 60r \); \( r = \frac{720}{60} = 12 \).

Ответ: 12