4 A 17 10 B α 15 A1 x C

Давай решим задачу 4. Здесь нам нужно найти длину отрезка x. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC. Сначала найдем косинус угла \(\angle BA_1C\). Так как \(AA_1\) перпендикулярна плоскости, то треугольники \(ABA_1\) и \(ACA_1\) прямоугольные. Пусть \(\angle BA_1C = \alpha\). Тогда можем записать: В треугольнике \(ABA_1\): \[AB^2 = BA_1^2 + AA_1^2\] \[17^2 = 15^2 + AA_1^2\] \[289 = 225 + AA_1^2\] \[AA_1^2 = 64\] \[AA_1 = 8\] В треугольнике \(ACA_1\): \[AC^2 = CA_1^2 + AA_1^2\] \[10^2 = x^2 + 8^2\] \[100 = x^2 + 64\] \[x^2 = 36\] \[x = 6\] Теперь рассмотрим треугольник \(BA_1C\). По теореме косинусов: \[BC^2 = BA_1^2 + CA_1^2 - 2 \cdot BA_1 \cdot CA_1 \cdot \cos(\angle BA_1C)\] \(\angle BA_1C = 90 + 90 = 180^{\circ} \Rightarrow \cos(\angle BA_1C) = -1\) Тогда: \[BC^2 = 15^2 + 6^2 - 2 \cdot 15 \cdot 6 \cdot (-1)\] \[BC^2 = 225 + 36 + 180 = 441\] \[BC = \sqrt{441} = 21\] В плоскости основания: \[BC^2 = BA_1^2 + A_1C^2 - 2 \cdot BA_1 \cdot A_1C \cdot \cos(\alpha)\] \(\angle BA_1C = \alpha\) \[21^2 = 15^2 + x^2\] \[21^2 = 15^2 + 6^2\] \[441 = 225 + 36 - 2 \cdot 15 \cdot 6 \cdot \cos(\alpha)\] \[441 = 261 - 180 \cdot \cos(\alpha)\] \[180 = -180 \cdot \cos(\alpha)\] \[\cos(\alpha) = -1\] Значит, \(\angle BA_1C = 180^{\circ}\), что невозможно, так как это угол в треугольнике. Найдем \(x\) из треугольника \(ACA_1\). \[AC^2 = AA_1^2 + A_1C^2\] \[10^2 = 8^2 + x^2\] \[100 = 64 + x^2\] \[x^2 = 36\] \[x = 6\]

Ответ: x = 6

Ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!