39.20. 1) 1/(a+b) - (a²+b²)/(a³+b³); 2) 1/(p-q) - (3pq)/(p³-q³); 3) (1-a)/(a²-a+1) + a²/(a³+1); 4) (6a³+48a)/(a³+64) - (3a²)/(a²-4a+16).

Разбираемся:

В этих заданиях нам предстоит упростить выражения, используя формулы сокращенного умножения и приведение к общему знаменателю.

1) \(\frac{1}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a^3+b^3}\)

• Разложим знаменатель второй дроби по формуле суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\)
• \(\frac{1}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}\)
• Приведем к общему знаменателю: \(\frac{a^2 - ab + b^2 - (a^2+b^2)}{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}\)
• Упростим числитель: \(\frac{a^2 - ab + b^2 - a^2 - b^2}{(a+b)(a^2 - ab + b^2)} = \frac{-ab}{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}\)

Ответ: \(\frac{-ab}{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}\)

2) \(\frac{1}{p-q} - \frac{3pq}{p^3-q^3}\)

• Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности кубов: \(p^3 - q^3 = (p-q)(p^2 + pq + q^2)\)
• \(\frac{1}{p-q} - \frac{3pq}{(p-q)(p^2 + pq + q^2)}\)
• Приведем к общему знаменателю: \(\frac{p^2 + pq + q^2 - 3pq}{(p-q)(p^2 + pq + q^2)}\)
• Упростим числитель: \(\frac{p^2 - 2pq + q^2}{(p-q)(p^2 + pq + q^2)}\)
• Заметим, что в числителе полный квадрат: \(\frac{(p-q)^2}{(p-q)(p^2 + pq + q^2)}\)
• Сократим дробь: \(\frac{p-q}{p^2 + pq + q^2}\)

Ответ: \(\frac{p-q}{p^2 + pq + q^2}\)

3) \(\frac{1-a}{a^2-a+1} + \frac{a^2}{a^3+1}\)

• Разложим знаменатель второй дроби по формуле суммы кубов: \(a^3 + 1 = (a+1)(a^2 - a + 1)\)
• \(\frac{1-a}{a^2-a+1} + \frac{a^2}{(a+1)(a^2 - a + 1)}\)
• Приведем к общему знаменателю: \(\frac{(1-a)(a+1) + a^2}{(a+1)(a^2 - a + 1)}\)
• Упростим числитель: \(\frac{1 - a^2 + a^2}{(a+1)(a^2 - a + 1)} = \frac{1}{(a+1)(a^2 - a + 1)}\)
• Заметим, что знаменатель можно свернуть в сумму кубов: \(\frac{1}{a^3 + 1}\)

Ответ: \(\frac{1}{a^3 + 1}\)

4) \(\frac{6a^3+48a}{a^3+64} - \frac{3a^2}{a^2-4a+16}\)

• Разложим знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов: \(a^3 + 64 = (a+4)(a^2 - 4a + 16)\)
• Вынесем в числителе первой дроби общий множитель: \(\frac{6a(a^2+8)}{(a+4)(a^2 - 4a + 16)} - \frac{3a^2}{a^2-4a+16}\)
• Приведем к общему знаменателю: \(\frac{6a(a^2+8) - 3a^2(a+4)}{(a+4)(a^2 - 4a + 16)}\)
• Упростим числитель: \(\frac{6a^3 + 48a - 3a^3 - 12a^2}{(a+4)(a^2 - 4a + 16)} = \frac{3a^3 - 12a^2 + 48a}{(a+4)(a^2 - 4a + 16)}\)
• Вынесем в числителе общий множитель: \(\frac{3a(a^2 - 4a + 16)}{(a+4)(a^2 - 4a + 16)}\)
• Сократим дробь: \(\frac{3a}{a+4}\)

Ответ: \(\frac{3a}{a+4}\)