AB = BC, S_ABCD = 72, OM - ?

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Трапеция ABCD является равнобедренной, так как AB = BC. Пусть O — центр вписанной окружности, M — точка касания окружности и основания AD.

2. Опустим высоту из вершины B на основание AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный этой высотой и боковой стороной AB. Угол при вершине A равен 30 градусам.

3. Площадь трапеции ABCD равна 72. Пусть OM = r (радиус вписанной окружности). Тогда высота трапеции равна 2r.

4. В равнобедренной трапеции, описанной около окружности, боковая сторона равна полусумме оснований, то есть AB = (BC + AD) / 2.

5. Площадь трапеции можно выразить как S = (BC + AD) * h / 2, где h — высота. Подставим известные значения: 72 = (BC + AD) * 2r / 2, откуда BC + AD = 72 / r.

6. Так как AB = (BC + AD) / 2, то AB = 36 / r.

7. В прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов против этого угла лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, высота (2r) равна половине AB. Таким образом, AB = 4r.

8. Приравняем два выражения для AB: 4r = 36 / r, откуда 4r^2 = 36, r^2 = 9, r = 3.

9. Следовательно, OM = r = 3.

Ответ: OM = 3