AB || DC, AD = BC. Найдите: AB + DC.

Решение:

Дан чертеж равнобедренной трапеции ABCD, в которую вписана окружность. Это означает, что сумма противоположных сторон трапеции равна: \( AB + DC = AD + BC \).

Поскольку трапеция равнобедренная, \( AD = BC \). Следовательно, \( AB + DC = 2AD \) или \( AB + DC = 2BC \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания. На чертеже показан угол \( 30^{\circ} \) у основания C. Это означает, что угол \( \angle BCD = 30^{\circ} \).

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, значит, \( \angle ADC = \angle BCD = 30^{\circ} \).

Проведем высоту из вершины B к основанию DC. Пусть точка пересечения будет H. Тогда \( \angle BCH = 90^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике BCH, \( \angle HBC = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

На чертеже также указан радиус вписанной окружности, равный 3. Диаметр окружности равен удвоенному радиусу, то есть \( d = 2 \times 3 = 6 \).

Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, поэтому \( h = 6 \).

В прямоугольном треугольнике BCH, высота BH = 6. Мы можем найти боковую сторону BC. Используя синус угла \( \angle BCD = 30^{\circ} \):

\[ \sin(30^{\circ}) = \frac{BH}{BC} \]

\[ BC = \frac{BH}{\sin(30^{\circ})} = \frac{6}{1/2} = 12 \]

Поскольку \( AD = BC \), то \( AD = 12 \).

Теперь мы можем найти сумму оснований \( AB + DC \):

\[ AB + DC = AD + BC = 12 + 12 = 24 \]

Или, используя свойство вписанной окружности:

\[ AB + DC = 2BC = 2 \times 12 = 24 \]

Ответ: 24.