AB и AC - касательные; \(\angle\) A = 60^{\(\circ\)}. Найти: \(\angle\) BOC.

Решение:

Дано: \( AB \) и \( AC \) — касательные к окружности с центром \( O \).

\( \angle A = 60^{\circ} \).

Так как \( AB \) и \( AC \) — касательные, то \( OB \perp AB \) и \( OC \perp AC \).

Рассмотрим четырёхугольник \( ABOC \).

Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^{\circ} \).

\( \angle BAC + \angle ABO + \angle BOC + \angle OCA = 360^{\circ} \).

\( \angle BAC = 60^{\circ} \).

\( \angle ABO = 90^{\circ} \) (так как \( OB \perp AB \)).

\( \angle OCA = 90^{\circ} \) (так как \( OC \perp AC \)).

\( 60^{\circ} + 90^{\circ} + \angle BOC + 90^{\circ} = 360^{\circ} \).

\( \angle BOC + 240^{\circ} = 360^{\circ} \).

\( \angle BOC = 360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ} \).

Ответ: \( \angle BOC = 120^{\circ} \).