AB, P_{\(\triangle\) ABC} - ?

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), вписанная окружность с центром \( O \).

Касательные к окружности из точки \( C \) равны: \( CE = CF = 4 \).

Касательные к окружности из точки \( A \) равны: \( AE = AG = 5 \).

Касательные к окружности из точки \( B \) равны: \( BF = BH = 5 \) (по рисунку сторона \( AB \) разбита точками \( E \) и \( F \) на сегменты, но по условию \( AE=5 \) и \( BF=5 \), что подразумевает \( AG=5 \) и \( BH=5 \) если \( G \) и \( H \) точки касания на \( AC \) и \( BC \) соответственно). Однако, на рисунке \( E \) и \( F \) обозначены как точки касания на сторонах \( AC \) и \( BC \) соответственно, а \( A \) и \( B \) — вершины треугольника. Давайте предположим, что \( AE = 5 \) и \( BF = 5 \) — это длины отрезков касательных от вершин \( A \) и \( B \) до точек касания \( E \) и \( F \) на окружности.

Если \( E \) на \( AC \) и \( F \) на \( BC \), то \( AE = 5 \) и \( BF = 5 \).

Из рисунка, точки касания на сторонах \( AC \) и \( BC \) обозначены как \( E \) и \( F \) соответственно. Значит:

\( AE = 5 \), \( EC = 4 \) => \( AC = AE + EC = 5 + 4 = 9 \).

\( BF = 5 \), \( FC = 4 \) => \( BC = BF + FC = 5 + 4 = 9 \).

\( AB \) - ?

Из рисунка, \( AB \) также касается окружности. Если \( E \) и \( F \) — единственные точки касания на сторонах \( AC \) и \( BC \), и \( AB \) касается окружности в некоторой точке \( D \) (не обозначенной), то \( AD = AE = 5 \) и \( BD = BF = 5 \).

Тогда \( AB = AD + DB = 5 + 5 = 10 \).

Периметр \( P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = 10 + 9 + 9 = 28 \).

Ответ: \( AB = 10 \), \( P_{\triangle ABC} = 28 \).