AB ~ 154, задача: A B C В единичном кубе чайти С угол между прямплей DATUBDT 14

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться знаниями геометрии, а именно:

1. Свойства куба.
2. Теорема косинусов.

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ с ребром, равным 1.

Необходимо найти угол между прямыми $$DA_1$$ и $$BD_1$$.

Введем векторные обозначения:

• $$\vec{DA_1} = \vec{DA} + \vec{AA_1}$$
• $$\vec{BD_1} = \vec{BD} + \vec{DD_1}$$

Выразим векторы $$\vec{DA}$$, $$\vec{AA_1}$$, $$\vec{BD}$$ и $$\vec{DD_1}$$ через базисные векторы $$\vec{AB}$$, $$\vec{AD}$$ и $$\vec{AA_1}$$:

• $$\vec{DA} = -\vec{AD}$$
• $$\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$$
• $$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{AB} + \vec{AD}$$

Тогда:

• $$\vec{DA_1} = -\vec{AD} + \vec{AA_1}$$
• $$\vec{BD_1} = -\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$$

Найдем косинус угла между векторами $$\vec{DA_1}$$ и $$\vec{BD_1}$$:

$$cos(\varphi) = \frac{\vec{DA_1} \cdot \vec{BD_1}}{|\vec{DA_1}| \cdot |\vec{BD_1}|} $$

Вычислим скалярное произведение $$\vec{DA_1} \cdot \vec{BD_1}$$:

$$\vec{DA_1} \cdot \vec{BD_1} = (- \vec{AD} + \vec{AA_1}) \cdot (- \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}) = \vec{AD} \cdot \vec{AB} - \vec{AD} \cdot \vec{AD} - \vec{AD} \cdot \vec{AA_1} - \vec{AA_1} \cdot \vec{AB} + \vec{AA_1} \cdot \vec{AD} + \vec{AA_1} \cdot \vec{AA_1} $$

Так как векторы $$\vec{AB}$$, $$\vec{AD}$$ и $$\vec{AA_1}$$ попарно перпендикулярны и образуют базис, то их скалярные произведения равны нулю, за исключением скалярных произведений вектора самого на себя. Учитывая, что длина каждого вектора равна 1, получаем:

$$\vec{DA_1} \cdot \vec{BD_1} = - \vec{AD} \cdot \vec{AD} + \vec{AA_1} \cdot \vec{AA_1} = -1 + 1 = 0$$

Тогда:

$$cos(\varphi) = \frac{0}{|\vec{DA_1}| \cdot |\vec{BD_1}|} = 0$$

Следовательно, угол $$\varphi$$ между прямыми $$DA_1$$ и $$BD_1$$ равен 90 градусов.

Ответ: 90°