ABC угол C равен 90°, АВ = 15, tgA = 3/4. Найдите АС

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, гипотенуза AB = 15, тангенс угла A равен \( \text{tg}A = \frac{3}{4} \).

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

\[ \text{tg}A = \frac{BC}{AC} \]

Мы знаем, что \( \text{tg}A = \frac{3}{4} \), следовательно:

\[ \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4} \]

Отсюда выразим BC:

\[ BC = \frac{3}{4} AC \]

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

Подставим известные значения и выражение для BC:

\[ AC^2 + \left(\frac{3}{4} AC\right)^2 = 15^2 \]

\[ AC^2 + \frac{9}{16} AC^2 = 225 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{16}{16} AC^2 + \frac{9}{16} AC^2 = 225 \]

\[ \frac{25}{16} AC^2 = 225 \]

Выразим \( AC^2 \):

\[ AC^2 = 225 \cdot \frac{16}{25} \]

\[ AC^2 = 9 \cdot 16 \]

\[ AC^2 = 144 \]

Извлечём квадратный корень:

\[ AC = \sqrt{144} \]

\[ AC = 12 \]

Ответ: АС = 12