17. ABCA₁B₁C₁ – правильная треугольная призма, длина каждого ребра которой равна 2 см. Точка O – середина ребра AA₁, а точка F лежит на продолжении ребра CC₁ так, что C₁C = 2CF. Вычислите периметр сечения призмы плоскостью, проходящей через точки O и F параллельно прямой CB.

Решение:

Пусть плоскость, проходящая через точки O и F и параллельная прямой CB, пересекает ребро BB₁ в точке D, а ребро AB в точке E, и ребро A₁C₁ в точке G.

Поскольку плоскость параллельна CB, то ED || CB и FG || CB.

Так как O – середина AA₁, а ED || CB, то AE = EB. Следовательно, ED – средняя линия треугольника ABC, и ED = 1/2 * CB = 1 см.

По условию C₁C = 2CF, следовательно, CF = C₁C / 2 = 2 / 2 = 1 см.

Проведем прямую A₁C₁. Так как плоскость сечения параллельна CB, то FG || CB, а значит, FG || A₁B₁ и FG лежит в плоскости A₁B₁C₁.

Рассмотрим треугольник A₁C₁F. Так как C₁C = 2CF, то A₁G = GС₁. Значит, FG – средняя линия треугольника A₁B₁C₁ и FG = 1/2 * CB = 1 см.

Так как AA₁B₁B – прямоугольник и O – середина AA₁, а D лежит на BB₁, то OD = √(AO² + AD²) = √(1² + 2²) = √5 см.

Рассмотрим трапецию EDFG. Периметр трапеции равен сумме длин ее сторон: P = ED + DF + FG + GE.

Найдем DF. Поскольку CC₁B₁B – прямоугольник, и C₁C = 2CF, то DF = √(DC² + CF²) = √(2² + 1²) = √5 см.

Аналогично, GE = √5 см.

Таким образом, периметр сечения EDFG равен:

P = 1 + √5 + 1 + √5 = 2 + 2√5 см.

Ответ: Периметр сечения равен 2 + 2√5 см.