ABCD – параллелограмм. На стороне BC отмечена точка E так, что BE : EC = 3:5. Прямые DE и AB пересекаются в точке M. Найдите BM, если AB = 20 см.

Решение:

• Рассмотрим треугольники \( \triangle MBE \) и \( \triangle MAB \). Углы \( \angle BME \) и \( \angle AMD \) равны как вертикальные.
• Так как ABCD — параллелограмм, то BC || AD. Следовательно, \( \angle MBE = \angle MAD \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AM.
• Значит, треугольники \( \triangle MBE \) и \( \triangle MAD \) подобны по двум углам (угол BME = углу DMA и угол MBE = углу MAD).
• Из подобия следует, что \( \frac{BM}{AM} = \frac{BE}{AD} \).
• Так как ABCD — параллелограмм, то AD = BC. Тогда \( \frac{BE}{AD} = \frac{BE}{BC} \).
• По условию BE : EC = 3 : 5, значит, \( BE = 3x \), \( EC = 5x \) и \( BC = BE + EC = 3x + 5x = 8x \). Следовательно, \( \frac{BE}{BC} = \frac{3x}{8x} = \frac{3}{8} \).
• Получаем, что \( \frac{BM}{AM} = \frac{3}{8} \), откуда \( AM = \frac{8}{3} BM \).
• Тогда \( AB = AM - BM = \frac{8}{3} BM - BM = \frac{5}{3} BM \).
• По условию AB = 20 см. Подставляем это значение: \( 20 = \frac{5}{3} BM \).
• Находим BM: \( BM = \frac{3}{5} \cdot 20 = 12 \) см.

Ответ: 12 см.