ABCD – ромб, AC = 40, BD = 30, OK – ?

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 600\]
2. Сторона ромба может быть найдена по теореме Пифагора, так как диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Катеты этого треугольника равны 20 и 15. Тогда сторона ромба \[a = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\]
3. Радиус окружности, вписанной в ромб, может быть найден как отношение площади ромба к половине его периметра, то есть к стороне ромба: \[r = \frac{S}{a} = \frac{600}{25} = 24\]

Ответ: OK = 24