ABCD – трапеция BD = 32

Рассмотрим треугольники BOC и DOA.

∠BOC = ∠DOA как вертикальные.

∠CBO = ∠ADO как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

Следовательно, треугольники BOC и DOA подобны по двум углам (1 признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD}$$ $$\frac{x}{y} = \frac{8}{AD}$$

Выразим AD:

$$AD = \frac{8y}{x}$$

Рассмотрим треугольники AOB и COD.

∠AOB = ∠COD как вертикальные.

∠BAO = ∠DCO как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

Следовательно, треугольники AOB и COD подобны по двум углам (1 признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{CD}$$ $$\frac{14}{6} = \frac{14}{6}$$

Рассмотрим диагональ BD = BO + OD = 32

$$x + y = 32$$ $$y = 32 - x$$

Подставим полученное выражение в пропорцию:

$$\frac{x}{32-x} = \frac{8}{AD}$$ $$AD = \frac{8(32 - x)}{x}$$ $$\frac{8y}{x} = \frac{8(32 - x)}{x}$$ $$\frac{8(32 - x)}{x} = \frac{8(32 - x)}{x}$$

Получим уравнение:

$$\frac{x}{6} = \frac{14}{y}$$ $$xy = 6 \cdot 14$$ $$x(32-x) = 84$$ $$32x - x^2 = 84$$ $$x^2 - 32x + 84 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 1024 - 336 = 688$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 + \sqrt{688}}{2} = \frac{32 + 4\sqrt{43}}{2} = 16 + 2\sqrt{43}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 - \sqrt{688}}{2} = \frac{32 - 4\sqrt{43}}{2} = 16 - 2\sqrt{43}$$

Подставим значения х в выражение y = 32 - x

$$y_1 = 32 - (16 + 2\sqrt{43}) = 16 - 2\sqrt{43}$$ $$y_2 = 32 - (16 - 2\sqrt{43}) = 16 + 2\sqrt{43}$$

Тогда BO =$$16 - 2\sqrt{43}$$ ≈ 2.83 и OD = $$16 + 2\sqrt{43}$$ ≈ 29.17 или наоборот.

Ответ: BO = $$16 - 2\sqrt{43}$$ ≈ 2.83 и OD = $$16 + 2\sqrt{43}$$ ≈ 29.17 или наоборот.