ABCD - прямокутник. Знайдіть координати точки А, якщо В(-2;2), C(0;0) i D(3;3).

Решение:

Для начала определим, что такое прямоугольник в контексте координат. Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Давай разберем по порядку, как найти координаты точки A, зная координаты остальных трех точек прямоугольника B, C и D.

1. Найдем векторы сторон прямоугольника.

Вектор \( \vec{BC} \) можно найти, вычитая координаты точки B из координат точки C:

\[ \vec{BC} = C - B = (0;0) - (-2;2) = (2;-2) \]

Вектор \( \vec{CD} \) можно найти, вычитая координаты точки C из координат точки D:

\[ \vec{CD} = D - C = (3;3) - (0;0) = (3;3) \]

2. Определим векторы, связанные с точкой A.

Т.к. ABCD - прямоугольник, то \( \vec{BA} \) должен быть параллелен \( \vec{CD} \), а \( \vec{DA} \) должен быть параллелен \( \vec{CB} \).

Также, поскольку это прямоугольник, векторы \( \vec{BA} \) и \( \vec{DA} \) должны быть перпендикулярны.

3. Найдем координаты точки A.

Пусть координаты точки A будут (x;y). Тогда вектор \( \vec{BA} = A - B = (x - (-2); y - 2) = (x + 2; y - 2) \).

Поскольку \( \vec{BA} \) параллелен \( \vec{CD} \), то \( \vec{BA} = k \cdot \vec{CD} \), где k - некоторый коэффициент.

\[ (x + 2; y - 2) = k(3;3) \]

Также вектор \( \vec{DA} = A - D = (x - 3; y - 3) \). Этот вектор должен быть параллелен вектору \( \vec{CB} = -\vec{BC} = (-2;2) \).

Тогда \( \vec{DA} = m \cdot \vec{CB} \), где m - некоторый коэффициент.

\[ (x - 3; y - 3) = m(-2;2) \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} x + 2 = 3k \\ y - 2 = 3k \\ x - 3 = -2m \\ y - 3 = 2m \end{cases}\]

Из первых двух уравнений следует, что x + 2 = y - 2, значит y = x + 4.

Из последних двух уравнений следует, что x - 3 = -(y - 3), значит x - 3 = -y + 3, или y = -x + 6.

Приравниваем оба уравнения для y:

\[ x + 4 = -x + 6 \]

\[ 2x = 2 \]

\[ x = 1 \]

Тогда y = x + 4 = 1 + 4 = 5.

Таким образом, координаты точки A (1;5).

Ответ: (1;5)

Ответ: (1;5)