ABCD - прямоугольник SABCD - ? cos ∠ACB - ?

Рассмотрим прямоугольник ABCD.

1) Рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный, так как ABCD прямоугольник, следовательно, угол B равен 90°. AC - гипотенуза, AB и BC - катеты. По условию ∠BAC = 30°, АС = 9.

2) Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, BC = 1/2 AC.

$$BC = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4.5$$

3) По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

$$AB^2 = AC^2 - BC^2$$ $$AB^2 = 9^2 - 4.5^2 = 81 - 20.25 = 60.75$$ $$AB = \sqrt{60.75} = 7.79 \approx 7.8$$

4) Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.

$$S_{ABCD} = AB \cdot BC$$ $$S_{ABCD} = 7.8 \cdot 4.5 = 35.1$$

5) Cos ∠ACB найдем из прямоугольного треугольника АВС.

Cos - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$$cos ∠ACB = \frac{BC}{AC}$$ $$cos ∠ACB = \frac{4.5}{9} = 0.5$$

Ответ: SABCD = 35.1, cos ∠ACB = 0.5.