ABCD - трапеция MN = 20 - средняя линия OK - ?

Из условия задачи известно, что ABCD - трапеция, MN - её средняя линия, равная 20. Также известно, что трапеция описана около окружности, и угол при основании равен 60 градусам. Нужно найти радиус окружности, то есть OK.

Так как трапеция описана около окружности, суммы её противоположных сторон равны. Следовательно, AB + CD = BC + AD. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть MN = (BC + AD) / 2. Значит, BC + AD = 2 * MN = 2 * 20 = 40.

Следовательно, AB + CD = 40. Так как трапеция описана около окружности, то высота трапеции равна двум радиусам окружности, то есть h = 2r.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания. В этом треугольнике угол при основании равен 60 градусов. Обозначим высоту трапеции как h, а боковую сторону как AB. Тогда sin(60°) = h / AB, откуда h = AB * sin(60°).

Выразим AB: AB = h / sin(60°) = h / (√3 / 2) = 2h / √3.

Так как AB + CD = 40, и трапеция равнобедренная, то AB = CD = 40 / 2 = 20. Тогда h = AB * sin(60°) = 20 * (√3 / 2) = 10√3.

Так как h = 2r, то r = h / 2 = (10√3) / 2 = 5√3.

Ответ: OK = 5√3