ABCD и ADEF — параллелограммы, имеющие общую сторону. Постройте вектор \(\vec{x}\) такой, что \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AF}+\vec{x}=\overrightarrow{DE}\).

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\). В параллелограмме \(ABCD\): \(\overrightarrow{CD}=-\vec a\). В параллелограмме \(ADEF\) (вершины идут по порядку \(A-D-E-F\)): \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{DE}\).

Подставим эти равенства в условие:

\[\vec a+\vec b-\vec a+\overrightarrow{DE}+\vec x=\overrightarrow{DE}.\]

Сокращаем противоположные векторы и вычитаем \(\overrightarrow{DE}\) из обеих частей:

\[\vec b+\vec x=\vec 0,\qquad \vec x=-\vec b.\]

Ответ: \(\vec x=-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}\).