ABCD — параллелограмм, А (1; −2), B (2; 4), C (-1; 5). 1) Найдите координаты вершины D. 2) Точка Е принадлежит CD, причем СЕ = 2DE. Разложите вектор ЕВ по векторам АВ и АД. 3) Найдите угол А. 4) Напишите уравнение прямой АС и уравнение окружности с диаметром, равным АС.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии по частям.

1. Находим координаты вершины D

В параллелограмме ABCD векторы AB и DC равны, а векторы AD и BC равны. Воспользуемся свойством векторов:

AB = DC

Координаты вектора AB: B - A = (2 - 1; 4 - (-2)) = (1; 6)

Пусть координаты точки D будут (x, y). Тогда координаты вектора DC: C - D = (-1 - x; 5 - y)

Приравниваем координаты векторов AB и DC:

1 = -1 - x x = -2

6 = 5 - y y = -1

Итак, координаты вершины D: (-2; -1).

2. Разлагаем вектор EB по векторам AB и AD

Точка E принадлежит CD, причем CE = 2DE. Это значит, что точка E делит отрезок CD в отношении 2:1 (от C к D).

Пусть C = (-1; 5) и D = (-2; -1).

Координаты точки E можно найти по формуле деления отрезка в заданном отношении:

E = (C + 2*D) / (1 + 2) = (C + 2*D) / 3

E = ((-1; 5) + 2*(-2; -1)) / 3 = ((-1; 5) + (-4; -2)) / 3 = (-5; 3) / 3 = (-5/3; 1)

Теперь найдем вектор EB: B - E = (2; 4) - (-5/3; 1) = (2 + 5/3; 4 - 1) = (11/3; 3)

Вектор AD = BC = C - B = (-1 - 2; 5 - 4) = (-3; 1)

Нам нужно представить EB = x * AB + y * AD. То есть:

(11/3; 3) = x * (1; 6) + y * (-3; 1)

(11/3; 3) = (x - 3y; 6x + y)

Получаем систему уравнений:

11/3 = x - 3y

3 = 6x + y

Из второго уравнения: y = 3 - 6x

Подставляем в первое:

11/3 = x - 3(3 - 6x)

11/3 = x - 9 + 18x

11/3 + 9 = 19x

44/3 = 19x x = 44/57

Теперь найдем y:

y = 3 - 6 * (44/57) = 3 - 264/57 = (171 - 264) / 57 = -93/57 = -31/19

Итак, разложение вектора EB: EB = (44/57) AB - (31/19) AD.

3. Находим угол А

Угол А — это угол между векторами AB и AD.

AB = (1; 6)

AD = (-3; 1)

Найдем скалярное произведение векторов:

AB AD = 1 * (-3) + 6 * 1 = -3 + 6 = 3

Найдем длины векторов:

|AB| = sqrt(1^2 + 6^2) = sqrt(1 + 36) = sqrt(37)

|AD| = sqrt((-3)^2 + 1^2) = sqrt(9 + 1) = sqrt(10)

По формуле косинуса угла между векторами:

cos A = (AB AD) / (|AB| * |AD|)

cos A = 3 / (sqrt(37) * sqrt(10)) = 3 / sqrt(370)

Угол A = arccos(3 / sqrt(370)).

4. Уравнение прямой АС и уравнение окружности

Прямая АС:

Точка A (1; -2), Точка C (-1; 5).

Найдем вектор AC = C - A = (-1 - 1; 5 - (-2)) = (-2; 7)

Уравнение прямой, проходящей через точку (x0, y0) с направляющим вектором (a, b):

(x - x0) / a = (y - y0) / b

(x - 1) / -2 = (y - (-2)) / 7

7(x - 1) = -2(y + 2)

7x - 7 = -2y - 4

7x + 2y - 3 = 0

Уравнение прямой АС: 7x + 2y - 3 = 0.

Окружность с диаметром АС:

Центр окружности — середина отрезка АС.

Координаты центра M: M = ((1 + (-1))/2; (-2 + 5)/2) = (0; 3/2)

Радиус окружности R — половина длины АС. Длина АС = |AC| = sqrt((-2)^2 + 7^2) = sqrt(4 + 49) = sqrt(53).

R = sqrt(53) / 2.

Уравнение окружности: (x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 = R^2

(x - 0)^2 + (y - 3/2)^2 = (sqrt(53) / 2)^2

x^2 + (y - 3/2)^2 = 53/4

Уравнение окружности: x^2 + (y - 3/2)^2 = 53/4.